[BOJ/C++] 10423 전기가 부족해

https://www.acmicpc.net/problem/10423

문제
세계에서 GDP가 가장 높은 서강 나라는 소프트웨어와 하드웨어 기술이 모두 최고라서 IT강국이라 불리고, 2015년부터 세상에서 가장 살기 좋은 나라 1등으로 꼽히고 있다.

살기 좋은 나라 1등으로 꼽힌 이후 외국인 방문객들이 많아졌고, 그에 따라 전기 소비율이 증가하여 전기가 많이 부족한 상황이 되었다. 따라서 서강 나라의 대통령은 최근 개발이 완료된 YNY발전소 프로젝트를 진행 하기로 하였다. 발전소를 만들 때 중요한 것은 발전소 건물과 도시로 전기를 공급해 줄 케이블이다. 발전소는 이미 특정 도시에 건설되어 있고, 따라서 추가적으로 드는 비용은 케이블을 설치할 때 드는 비용이 전부이다. 이 프로젝트의 문제는 케이블을 설치할 때 드는 비용이 굉장히 크므로 이를 최소화해서 설치하여 모든 도시에 전기를 공급하는 것이다. 여러분은 N개의 도시가 있고 M개의 두 도시를 연결하는 케이블의 정보와 K개의 YNY발전소가 설치된 도시가 주어지면 케이블 설치 비용을 최소로 사용하여 모든 도시에 전기가 공급할 수 있도록 해결해야 한다. 중요한 점은 어느 한 도시가 두 개의 발전소에서 전기를 공급받으면 낭비가 되므로 케이블이 연결되어있는 도시에는 발전소가 반드시 하나만 존재해야 한다. 아래 Figure 1를 보자. 9개의 도시와 3 개의 YNY발전소(A,B,I)가 있고, 각각의 도시들을 연결할 때 드는 비용이 주어진다.

이 예제에서 모든 도시에 전기를 공급하기 위하여 설치할 케이블의 최소 비용은 22이고, Figure 2의 굵은 간선이 연결한 케이블이다. B 도시는 연결된 도시가 하나도 없지만, 발전소가 설치된 도시는 전기가 공급될 수 있기 때문에 상관없다.

입력
첫째 줄에는 도시의 개수 N(1 ≤ N ≤ 1,000)과 설치 가능한 케이블의 수 M(1 ≤ M ≤ 100,000)개, 발전소의 개수 K(1 ≤ K ≤ N)개가 주어진다. 둘째 줄에는 발전소가 설치된 도시의 번호가 주어진다. 셋째 줄부터 M개의 두 도시를 연결하는 케이블의 정보가 u, v, w로 주어진다. 이는 u도시와 v도시를 연결하는 케이블을 설치할 때 w의 비용이 드는 것을 의미한다. w는 10,000보다 작거나 같은 양의 정수이다.

출력
모든 도시에 전기를 공급할 수 있도록 케이블을 설치하는 데 드는 최소비용을 출력한다.

예제 입력 1
9 14 3
1 2 9
1 3 3
1 4 8
2 4 10
3 4 11
3 5 6
4 5 4
4 6 10
5 6 5
5 7 4
6 7 7
6 8 4
7 8 5
7 9 2
8 9 5
예제 출력 1
22
예제 입력 2
4 5 1
1
1 2 5
1 3 5
1 4 5
2 3 10
3 4 10
예제 출력 2
15
예제 입력 3
10 9 5
1 4 6 9 10
1 2 3
2 3 8
3 4 5
4 5 1
5 6 2
6 7 6
7 8 3
8 9 4
9 10 1
예제 출력 3
16

문제 정리

모든 정점을 연결하고 최소비용을 구해야 하기 때문에 최소 신장 트리 문제이다. 하지만 일반 문제와는 다르게 각 도시는 반드시 하나의 발전소로부터 전기를 공급받아야 한다는 제약조건이 있다. 제약조건을 생각하니 문제가 참 까다로워진다. 어떻게 풀 수 있을까?
최소 신장 트리

-> 가상의 정점을 하나 만든다

위의 그림에서 가상의 정점을 하나 만든 뒤 최소 신장 트리를 나타낸 것이다. 발전소와 가상의 정점과 연결한다. 이렇게 되면 각 정점은 하나의 발전소에서만 전기를 공급받게된다.

예를 들어 가상의 정점이 없었을 때는 C가 발전소 A와 I에서 전기를 공급받아도 사이클이 생기지 않았지만, 가상의 정점을 생성한 후에는 I와 연결된다면 사이클이 생겨서 연결 할 수 없다.

따라서 가상의 정점과 발전소를 연결한 뒤 최소 신장 트리를 만든다.

코드

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

//가상의 노드를 만들면 쉽게 해결

vector <tuple<int,int,int>> adj;

int parent[1002];

int find(int x)
{
    if(x==parent[x])
        return x;
    return parent[x] = find(parent[x]);
}

bool Union(int x, int y)
{
    x = find(x);
    y = find(y);

    if(x==y)
        return false;
    if(x<y)
        parent[y]=x;
    else
        parent[x]=y;
    return true;
}


int main()
{
    int n,m,dev;
    cin >> n >> m >> dev;

    for(int i=0; i<=n; i++)
        parent[i] = i;
    
    //발전소를 입력받아 가상의 정점과 연결
    int x;
    for(int i=1; i<=dev ; i++)
    {
        cin >> x;
        Union(0,x);
    }

    int u,v,value;
    for(int i=1; i<=m; i++)
    {
        cin >> u >> v >> value;
        adj.push_back({value,u,v});
    }

    sort(adj.begin(),adj.end());

    int cnt = 0;
    int sum=0;
    for(auto nxt:adj)
    {
        if(cnt == n-dev)
            break;

        int a,b,cost;
        tie(cost,a,b) = nxt;
        if(Union(a,b))
        {
            sum+=cost;
            cnt++;
        }   
    }
    cout << sum;
}

크루스칼 알고리즘을 통해 문제를 해결했다. 위에서 다 설명해서 큰 어려움이 없을 것으로 보인다. 하나 추가하자면 일반 문제와는 다르게 간선을 발전소를 뺀 정점의 수만큼 선택해야 한다.(가상 정점은 제외)