1. 정의

람베르트 W 함수(Lambert W function)는 함수 $f(x)=xe^x$와 역관계인 함수들로 이루어진 함수이다.
다른 이름으로는 오메가 함수(omega function) 또는 곱 로그(product logarithm)라고도 한다.
함수 $y=xe^x$ 는 증가 함수나 감소 함수가 아니기 때문에 역관계인 $x=ye^y$는 하나의 x값에 여러값의 y가 존재할 수 있다.
그래서 이를 여러개의 가지(branch)로 나누고 이를 정수 k를 사용해 $W_k(z)$로 구분한다.

정리하면 $z = we^w$ 라는 식에서 $w$를 람베르트 W 함수 $W_k(z)$ 로 표현 할 수 있다.

람베르트 W 함수는 복소수 차원에서도 정의되지만, 실수 차원에서만 보면 두개의 가지(branch) $W_0, W_{-1}$가 있고 그 모양은 다음과 같다.

2. 활용

람베르트 W 함수의 활용에 대해 이야기 하기 위해 최근에 우연히 접한 문제 하나를 소개하겠다.

$x+y = 8$ 일 때, $x^y$ 를 최대로 하기 위한 x 값은?

이 문제를 풀기 위해 $y = 8-x$ 로 치환하고 $z = x^{8-x}$를 미분하면
$z^\prime = ((8-x)/x - \log x) \times x^{8-x}$ 이며
이 값이 0 이되는 극점은 $((8-x)/x - \log x)$ 가 0 일 경우,
즉 $8-x-x\log x = 0$ 인 경우이다.

람베르트 W 함수에 대한 지식이 없다면 이 단계에서 x값을 구하는데 어려움을 겪을 것이다.
하지만 람베르트 W 함수를 사용하여 식을 더 정리해 보면,

$x(1+\log x) = 8$
$x(\log ex) = 8$
$ex(\log ex) = 8e$
$\log ex = w$ 라고 두면, $we^w=8e$
람베르트 W 함수에 의해 $w = W(8e)$
$\log ex = W(8e)$
$x = e^{W(8e)-1}$

$W(8e)$는 약 2.26이고, 따라서 $e^{W(8e)-1}$는 약 3.53의 값을 가진다.
극점은 하나뿐이니 이 값이 문제에서 구하고자 하는 답이다.

람베르트 W 함수는 이렇듯 다항함수와 지수함수의 곱이 포함된 식에서 값을 구하기 위해 사용할 수 있다.
그 밖에 더 다양한 정보는 영문 위키를 참고하면 좋을 것이다.