먼저 사건 B가 주어져 있을 때 A의 조건부 확률은 사건 B에 대한 확률이 0보다 큰 경우에만 정의됩니다.
그럴 경우에 사건 B가 주어져 있을 때 사건A의 조건부 확률은 A와 B의 교집합을 B의 확률로 나누어 준 것을 의미하고 이러한 표현을 사용합니다.
조건부 확률(statistically independent)
실제로 조건부 확률이 정의되기 위해서는 조금 전에 말씀드린 것처럼 분모에 있는 B의 확률이 양수인 경우에만 정의됩니다.
그 다음 두 사건 A와 B가 주어졌을 때 A가 일어날 확률이 주어진사건 B와 관계없이 항상 A가 일어날 확률과 같다고 하면 두 사건 A와 B는 서로 독립이다.
만약에 A가 주어졌을 때 B가 일어날 확률이 A가 어떤 사건이 주어진 것과 상관없이 B의 확률과 같다고 하면 이것 역시 A와 B가 독립임을 의미합니다.
그래서 이 두 가지 조건은 독립에 대한 똑같은 조건이라고 말씀드릴 수가 있습니다.
자 그렇다면 여기에 있는 조건부 확률과 여기에 있는 독립이라는 정의로부터 독립인 경우에 정리를 만들 수 있습니다.
위 식에서 조건부확률이 독립과 무관하게 항상 성립되는 것은 교집합에 대한 확률은 A의 조건부 확률에 B의 확률을 곱한 것과 같습니다.
A와 B의 교집합의 확률은 B의 조건부확률과 A의 확률의 곱과도 같습니다.
두 사건의 교집합은 조건부 확률과 각 사건의 곱으로 표현이 되는데 A와 B가 독립이면 조건부 확률이 각각 와 A의 확률과 B의 확률과 같기 때문에 이 사실을 독립에 대입을 하면 A와 B의 교집합에 대한 확률은 각각 확률의 곱과 같습니다.
이렇게 되면 두 사건 A와 B는 독립이라고 합니다.
