이번 포스팅에서는 Theorem 1.31에 대해서 증명 해 보겠습니다.
Scratch Work
Theorem 1.31
(Qis dense inR). The rational numbers are dense in the real numbers.
증명
임의의 x,y를 잡겠습니다. 여기서 x<y입니다.
우리는 이제 아래의 내용을 보여야 합니다.
There exists some nm∈Q (with m,n∈Z) such that x<nm<y.
먼저 x<0<y인 경우에는 0∈Q 이므로 자명합니다.
다음으로 x,y가 양수인 경우입니다. 그리하면 가정인 x<y 로 부터 y−x>0임을 알 수 있습니다.
그런데 y−x>0 이므로 아르키메데스의 원리로 부터 there exist some n∈N such that n(y−x)>1을 함의 합니다.
그러면
n(y−x)>1ny−nx>1
입니다.
그런데 Lemma 1.30으로 부터 There is some integer m with nx<m<ny.를 알 수 있습니다.
이것은 x<nm<y를 함의 합니다.
마지막으로 다음으로 x,y가 음수인 경우입니다.
그런데 x,y가 양수인 경우에
0<x<nm⇒−y<n−m<−x<0
이므로 x,y가 양수인 경우에 Theorem 1.31임이 성립함을 보이면 그 것은 x,y가 음수인 경우에도 성립함을 함의 합니다. ■
참고문헌
- Jay Cummings. Real Analysis: A Long-Form Mathematics Textbook. CreateSpace Independent Publishing Platform; 1 edition (July 30, 2018)