[자료구조/알고리즘] 재귀

KIM DA MI·2023년 4월 11일

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1. 재귀의 이해

재귀란?

재귀(再歸) : 원래의 자리로 되돌아가거나 되돌아옴.

재귀 함수란?

자기 자신을 호출하는 함수를 말한다.
- 예시 이미지

재귀의 코드 예시
```
function recursion () {
  console.log("This is")
  console.log("recursion!")
  recursion()
}
```
- recursion 함수의 호출 결과
  - recursion 함수를 호출했더니, 자기 자신을 끝없이 호출하면서 같은 코드가 계속해서 실행되는 것을 볼 수 있다.
  - 이 recursion 함수처럼 자기 자신을 호출하는 함수를 재귀 함수라고 하며,
    재귀 함수를 잘 활용하면 반복적인 작업을 해야 하는 문제를 좀 더 간결한 코드로 풀어낼 수 있다.

재귀로 문제 해결하기

어떻게 하면 재귀를 활용해서 문제를 해결할 수 있을까?

문제: 자연수로 이루어진 리스트(배열)를 입력받고, 리스트의 합을 리턴하는 함수 arrSum 을 작성하세요.
- 물론 아래의 방법과 같이 재귀 없이 반복문으로 해결하는 방법도 있다.
```
function arrSum(arr) {
  let sum = 0;
  for (let i = 0; i < arr.length; i++) {
    sum += arr[i];
  }
  return sum;
}
```

재귀로 문제를 해결하기 위해서는 아래와 같은 3단계를 먼저 떠올려보자.
1. 문제를 좀 더 작게 쪼갠다.
2. 1번과 같은 방식으로, 문제가 더는 작아지지 않을 때까지, 가장 작은 단위로 문제를 쪼갠다.
3. 가장 작은 단위의 문제를 풂으로써 전체 문제를 해결한다.

1. 문제를 작게 쪼개기

어떻게 하면 arrSum 함수로 [1, 2, 3, 4, 5] 의 합을 구하는 과정을 더 작게 쪼갤 수 있을까?
단순하게 생각해 보면, 배열의 합을 구할 때 [1, 2, 3, 4, 5] 의 합을 구하는 것보다 [2, 3, 4, 5] 의 합을 구하는 것이 더 작은 문제이고, 여기서 또 [2, 3, 4, 5]의 합을 구하는 것보다 [3, 4, 5] 의 합을 구하는 것이 더 작은 문제일 것이다.

위 방식으로 문제를 쪼갠 것을 코드로 표현하면 다음과 같다.

arrSum([1, 2, 3, 4, 5]) === 1 + arrSum([2, 3, 4, 5])
arrSum([2, 3, 4, 5]) === 2 + arrSum([3, 4, 5])
...

2. 문제를 가장 작은 단위로 쪼개기

위에서 문제를 쪼갠 방식을 반복해서 문제를 계속해서 쪼개면 더 이상 쪼갤 수 없는 상태에 도달하게 된다.
```
...
arrSum([3, 4, 5]) === 3 + arrSum([4, 5])
arrSum([4, 5]) === 4 + arrSum([5])
arrSum([5]) === 5 + arrSum([])
```
- 마지막에는 arrSum 이 빈 배열을 받게 되면서 문제를 더 이상 쪼갤 수 없게 되었다.
  이로써 문제를 가장 작은 단위까지 쪼갰다고 할 수 있다.

3. 문제 해결하기

문제가 더 쪼개지지 않게 되면, 가장 작은 단위의 문제를 해결한다.
문제를 쪼갤 때 같은 방식으로 쪼갰기 때문에, 가장 작은 단위의 문제를 해결한 방식으로 문제 전체를 해결할 수 있게 된다.
2번에서 도달한 가장 작은 문제는 arrSum([]) 이었다. 빈 배열의 합은 0이므로, 0을 리턴해주면 된다.
이렇게 가장 작은 문제를 해결하는 순간, 아래 코드처럼 쪼개졌던 문제가 거꾸로 거슬러 올라가면서 합쳐지게 된다.
```
arrSum([]) === 0; // <-- 문제가 더는 작아지지 않는 순간
// 가장 작은 경우의 해결책을 적용한다.
arrSum([5]) === 5 + arrSum([]) === 5 + 0 === 5;
arrSum([4, 5]) === 4 + arrSum([5]) === 4 + 5 === 9;
arrSum([3, 4, 5]) === 3 + arrSum([4, 5]) === 3 + 9 === 12;
arrSum([2, 3, 4, 5]) === 2 + arrSum([3, 4, 5]) === 2 + 12 === 14;
arrSum([1, 2, 3, 4, 5]) === 1 + arrSum([2, 3, 4, 5]) === 1 + 14 === 15;
```
- arrSum 함수의 리턴 값이 나오면서 연쇄적으로 문제가 해결되고, 최종적으로는 문제 전체가 해결되는 것을 볼 수 있다.
- 위 단계를 반영해서 arrSum 함수를 완성해 보면 다음과 같다.
```
function arrSum (arr) {
  // 빈 배열을 받았을 때 0을 리턴하는 조건문
  //   --> 가장 작은 문제를 해결하는 코드 & 재귀를 멈추는 코드
  if (arr.length === 0) {
    return 0
  }

  // 배열의 첫 요소 + 나머지 요소가 담긴 배열을 받는 arrSum 함수
  //   --> 재귀(자기 자신을 호출)를 통해 문제를 작게 쪼개나가는 코드
    return arr.shift() + arrSum(arr)
}
```
- arrSum 함수가 작동하는 방식을 시각적으로 확인해보자.
  - 재귀로 문제가 쪼개어지는 과정
- arrSum 함수가 내부에서 arrSum 함수를 호출하면서 문제가 쪼개어져 나가고, 결국 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 arrSum([]) 까지 함수가 호출되는 것을 볼 수 있다.
  - 재귀로 문제가 해결되는 과정
  - arrSum([]) 는 조건문에 의해 더 이상 자기 자신을 호출하지 않고, 숫자 0을 리턴하면서 종료된다. 그 결과 중첩되어 있던 함수들도 연쇄적으로 숫자를 리턴하고, 최종적으로는 배열의 모든 요소의 합을 리턴하면서 문제가 해결된다.

재귀는 언제 사용해야 좋을까?

주어진 문제를 비슷한 구조의 더 작은 문제로 나눌 수 있는 경우
중첩된 반복문이 많거나 반복문의 중첩 횟수를 예측하기 어려운 경우

반복문으로 작성된 코드를 더욱 간결하고 이해하기 쉽게 작성하고 싶은 경우

for (let i = 0; i < n; i++) {
    for (let j = 0; j < n; j++) {
        for (let k = 0; k < n; k++) {
            for (let l = 0; l < n; l++) {
                for (let m = 0; m < n; m++) {
                    for (let n = 0; n < n; n++) {
                        for (let o = 0; o < n; o++) {
                            for (let p = 0; p < n; p++) {
                                // do something
                                someFunc(i, j, k, l, m, n, o, p);
                           }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
 }

모든 재귀 함수는 반복문(while 문 또는 for 문)으로 표현할 수 있다.
그러나 재귀를 적용할 수 있는 대부분의 경우 재귀를 적용한 코드가 더욱 간결하고 이해하기 쉽다.

2. 재귀적으로 사고하기

1. 재귀 함수의 입력값과 출력값 정의하기

재귀적으로 사고하는 데에 가장 먼저 해야 할 일은 문제를 가장 추상적으로 또는, 가장 단순하게 정의하는 것이다. 함수의 입출력 값을 정의하는 것은 그 첫 출발점이며, 재귀 함수를 통해 풀고자 하는 문제, 즉 도달하고자 하는 목표를 정의하는 데 도움이 된다.
함수 arrSum 의 경우 number 타입을 요소로 갖는 배열을 입력으로 받고, number 타입을 리턴한다. 이를 좀 더 간단하게 표기하면 다음과 같다.
- arrSum: [number] => number ← 입출력 값 정의

2. 문제를 쪼개고 경우의 수를 나누기

다음으로는 주어진 문제를 쪼개는 기준을 정하고, 이 기준에 따라 문제를 더 큰 경우와 작은 경우로 나눌 수 있는지 확인한다.
입력값이나 문제의 순서와 크기를 고려하여 문제를 구분하고, 구분된 문제를 푸는 방식이 모두 같으면 문제를 제대로 구분한 것이다.
- 함수 arrSum 의 경우 입력값인 배열의 크기에 따라, 더 작은 문제로 나눌 수 있다.
  그리고 arrSum([1, 2, 3, 4]) 를 구하는 방법과 arrSum([2, 3, 4]) 을 구하는 방법은 동일하므로, 이 구분은 적절하다고 판단할 수 있다.
이제 문제에서 주어진 입력값에 따라, 경우의 수를 나눈다.
일반적으로 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 경우와 그렇지 않은 경우로 나눈다.
- 함수 arrSum은 입력값이 빈 배열인 경우와 그렇지 않은 경우로 나눌 수 있다. 각각의 경우는 다른 방식으로 처리해야 한다.
  - arrSum: [number] => number
  - arrSum([ ]) ← 입력값이 빈 배열인 경우
  - arrSum([요소1, 요소2, ... , 요소n]) ← 그렇지 않은 경우

3. 단순한 문제 해결하기

문제를 여러 경우로 구분한 후, 가장 해결하기 쉬운 문제를 먼저 해결하는 것이 좋다. 이를 재귀의 기초(base case)라고 부른다.

재귀의 기초는 나중에 재귀 함수를 구현할 때, 재귀의 탈출 조건(재귀 호출이 멈추는 조건)을 구성한다.

탈출 조건이 없으면 끝없이 자기 자신을 호출하게 된다. 따라서 문제를 최대한 작게 쪼갠 후, 문제를 해결하는 것이 중요하다.
- 함수 arrSum 을 더 이상 쪼갤 수 없는 경우는 입력값이 빈 배열일 경우이고,
  이때 arrSum([]) 의 리턴값은 0이다.
  - arrSum: [number] => number
  - arrSum([ ]) === 0 ← 입력값이 빈 배열인 경우 : 해결!
  - arrSum([요소1, 요소2, ... , 요소n])

4. 복잡한 문제 해결하기

남아있는 복잡한 경우를 해결한다.
길이가 1 이상인 배열이 함수 arrSum에 입력된 경우, 입력된 배열을 배열의 첫 요소와 나머지 요소를 입력값으로 갖는 문제로 쪼개고, 둘을 더한다.
- arrSum: [number] => number
- arrSum([ ]) === 0
- arrSum([요소1, 요소2, ... , 요소n]) === 요소1 + arrSum([요소2, ..., 요소n]) ← 그렇지 않은 경우 : 해결!
배열을 첫 요소와 더 작은 문제로 쪼개는 방법만 안다면, 함수 arrSum 을 재귀적으로 구현할 수 있다.

5. 코드 구현하기

function arrSum(arr) {
  // base case : 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 경우 (재귀의 기초)
  if (arr의 길이가 0인 경우) {
    return 0;
  }

  // recursive case : 그렇지 않은 경우
  return 요소1 + arrSum([요소2, ... , 요소n]);
}

일반적인 재귀 함수의 템플릿

function recursive(input1, input2, ...) {
  // base case : 문제를 더 이상 쪼갤 수 없는 경우
  if (문제를 더 이상 쪼갤 수 없을 경우) {
    return 단순한 문제의 해답;
  }

  // recursive case : 그렇지 않은 경우
  return 더 작은 문제로 새롭게 정의된 문제
}

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1. 재귀의 이해

재귀란?

재귀 함수란?

재귀로 문제 해결하기

1. 문제를 작게 쪼개기

2. 문제를 가장 작은 단위로 쪼개기

3. 문제 해결하기

재귀는 언제 사용해야 좋을까?

2. 재귀적으로 사고하기

1. 재귀 함수의 입력값과 출력값 정의하기

2. 문제를 쪼개고 경우의 수를 나누기

3. 단순한 문제 해결하기

4. 복잡한 문제 해결하기

5. 코드 구현하기

일반적인 재귀 함수의 템플릿

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