[Week2-Day1] 인공지능수학-선형대수-1

오준석·2021년 4월 26일
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선형시스템 (Linear system)

개요

  • 선형시스템: Ax = b, 연립일차방정식의 대수적 표현
  • 가우스 소거법: 선형시스템을 푸는 방법
  • LU 분행: 가우스 소거법 과정을 행렬로 표현

연립일차방정식 :=(==) 선형시스템

선형시스템이란?

선형시스템은 어렸을 때 배웠던 일차방정식들의 집합 정도로 이해하면 될 거 같다. 다만, 앞으로 해야할 인공지능의 모델에서는 그 집합의 크기와 찾아야 할 해가 그 시절 그것과는 차원을 달리하기 때문에 풀이를 정형화해서 프로그램적으로 해결해야한다.

선형(linear)과 비선형(non-linear)의 구분은?

미지수의 차수가 1차인 경우 선형, 아닌 경우 비선형
평면이나 왜곡도지 않은 올곧은 형태인 linear
궁금한 점: (x1/2) * (y1/2) = b와 같은 형태의 그래프는 어떻게 그려졌던가

선형시스템의 표현(linear system)

  • 5x1 - 2x2 + 3x3 = 4
  • 8x1 - 6x2 - x3 = 2
  • x1 - 3x3 = 4

[ m ]개의 일차방정식과 [ n ]개의 미지수로 구성된 것을
[ m ] X [ n ] 선형시스템(linear system)이라고 한다

m*n 선형시스템을 대수적(Ax = b)으로 표현하기

  1. 선형시스템의 미지수를 모아, column vector (x)로 표현
  2. 선형시스템의 선형방정식에 대해 다음을 수행
    -계수(coefficients)를 모아 A의 row vector로 표현
    -상수(constant)를 모아 b에 표현

m은 연립방정식의 개수
n은 미지수의 개수
A는 mn행렬
x는 n-vector, b는 m-vector

선형시스템의 해

  1. 해가 하나인 경우 (3x = 6)
  2. 해가 없는 경우 (0x = 6)
  3. 해가 무수히 많은 경우 (0x = 0)

A의 역행렬이 존재하지 않는 경우(a의 역수가(inverse)가 존재하지 않는 경우) A가 특이(singular)하다고 한다.
해가 있으면 선형시스템이 consistent하다고 한다. (1, 3의 경우)
해가 없으면 선형시스템이 inconsistnet하다고 한다. (2의 경우)

가우스소거법을 통해 선형시스템의 해 구하기

전방소거법(forward elimination): 주어진 선형시스템을 아래로 갈 록 단순한 형태의 선형방정식을 가지도록 변형하는 절차

후방대입법(back-substitution): 아래에서부터 위로 미지수를 실제값으로 대체하여 해를 구하는 과정

소거법에 활용된 세가지 기본행연산

(elementary row operations, EROs)

Replacement: rj <- rj - mri
Interchange: rj <-> rm
Scaling: rj <- s*rj

전방소거법의 가치

주어진 선형시스템을 가장 풀기 쉬운 꼴로 변형해 준다.
주어진 선형시스템의 rank를 알려준다. (rank는 의미있는 equation의 수)
해가 있는지 없는지 알려준다

용어정리

미지수(unknown, variable)
랭크(rank) - 의미있는 방정식(equatation)의 수

필요한 일
가우스 소거법을 체득하자! 식과 변수가 많아지기 때문에 정형적인 방법으로 표현하고 해결하는 방법을 배워야한다.

TMI - shape에서 (3,) 등으로 표현하는 것은 (3)으로 표현했을 경우 파이썬에서 3으로 인식하기 때문에

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