[BOJ] 11049. 행렬 곱셈 순서

11049. 행렬 곱셈 순서

1. 문제

크기가 N×M인 행렬 A와 M×K인 B를 곱할 때 필요한 곱셈 연산의 수는 총 N×M×K번이다. 행렬 N개를 곱하는데 필요한 곱셈 연산의 수는 행렬을 곱하는 순서에 따라 달라지게 된다.

예를 들어, A의 크기가 5×3이고, B의 크기가 3×2, C의 크기가 2×6인 경우에 행렬의 곱 ABC를 구하는 경우를 생각해보자.

AB를 먼저 곱하고 C를 곱하는 경우 (AB)C에 필요한 곱셈 연산의 수는 5×3×2 + 5×2×6 = 30 + 60 = 90번이다.
BC를 먼저 곱하고 A를 곱하는 경우 A(BC)에 필요한 곱셈 연산의 수는 3×2×6 + 5×3×6 = 36 + 90 = 126번이다.
같은 곱셈이지만, 곱셈을 하는 순서에 따라서 곱셈 연산의 수가 달라진다.

행렬 N개의 크기가 주어졌을 때, 모든 행렬을 곱하는데 필요한 곱셈 연산 횟수의 최솟값을 구하는 프로그램을 작성하시오. 입력으로 주어진 행렬의 순서를 바꾸면 안 된다.

2. 입력

첫째 줄에 행렬의 개수 N(1 ≤ N ≤ 500)이 주어진다.

둘째 줄부터 N개 줄에는 행렬의 크기 r과 c가 주어진다. (1 ≤ r, c ≤ 500)

항상 순서대로 곱셈을 할 수 있는 크기만 입력으로 주어진다.

3. 출력

첫째 줄에 입력으로 주어진 행렬을 곱하는데 필요한 곱셈 연산의 최솟값을 출력한다. 정답은 $2^{31}-1$ 보다 작거나 같은 자연수이다. 또한, 최악의 순서로 연산해도 연산 횟수가 $2^{31}-1$보다 작거나 같다.

4. 풀이

C++

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <utility>
using namespace std;
#define INF 2000000000
#define ioboost ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(NULL); cout.tie(NULL);
typedef pair<int, int> p;

int N;
p matrix[501];
int dp[501][501];

int main()
{
    ioboost;
    
    cin >> N;
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        cin >> matrix[i].first;
        cin >> matrix[i].second;
    }
    
    for (int i = 1; i <= N; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= N - i; ++j)
        {
            dp[j][i + j] = INF;
            for (int k = j; k < i + j; ++k)
                dp[j][i + j] = min(dp[j][i + j], dp[j][k] + dp[k + 1][i + j] + matrix[j].first * matrix[k].second * matrix[i + j].second);
        }
    }
    
    cout << dp[1][N] << '\n';
}