문제

초항 $a_1$, $a_2$가 정해져 있고 $a_i=b \cdot a_{i-1}+c \cdot a_{i-2}$ ($i \ge 3$)이 성립하는 수열 $a$에서, $n$이 무한히 증가할 때

$\frac{a_n}{a_{n-1}}$의 극한을 구하여라.

이 값은 항상 수렴함을 증명할 수 있다.

입력

첫 번째 줄에 정수 $b$, $c$, $a_1$, $a_2$가 공백으로 구분되어 주어진다. $(1 \leq b, c, a_1, a_2 \leq 10^9)$ 

출력

식의 극한값을 출력한다. 절대/상대 오차는 $10^{-6}$까지 허용한다.

풀이

수열의 항과 극한의 관계를 알고 있었으면 무난히 풀리는 문제였다.
$\lim_{x \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\alpha(\alpha>0)$라 하면,

$\lim_{x \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \lim_{x \to \infty} \frac{ba_{n-1}+ca_{n-2}}{a_{n-1}} = \lim_{x \to \infty}(b + c\frac{a_{n-2}}{a_{n-1}}) = b+\frac{c}{\alpha} = \alpha$

$\because \alpha^2-b\alpha-c=0, \alpha=\frac{b+\sqrt{b^2+4c}}{2}$

$\therefore \lim_{x \to \infty} \frac{a_n}{a_{n-1}}=\frac{b+\sqrt{b^2+4c}}{2}$

풀다보니 코딩 요소가 하나도 안들어가있었다. 처음에는 직접 일반항을 구해보려 시도하였으나, 식이 더 복잡해지는 바람에 포기했다. 오랜만의 수학문제라 처음에는 헤맸지만 나름 재밌었던 문제였다. (다른풀이방법도 찾아보면 더 재밌을 것 같기도 하다.)

코드

import sys, math

b, c, a1, a2 = map(int, sys.stdin.readline().split())
print((b+math.sqrt(b**2+4*c))/2)

2022 제1회 미적확통컵 이동