Earth Mover Distance

Earth Mover Distance

γ : Pr,Pg 간의 Joint Distribution 중 하나 (Coupling)
Π(Pr,Pg) : Marginal이 Pr,Pg인 모든 Joing Distribution 들의 집합

아래 예시를 통해서 해당 수식을 이해한다.
Earth-Mover는 흙을 파서 옮기는 기계를 뜻하고 이 개념을 그대로 적용한다.

위 그림과 같은 블록을 이동시킨다고 생각한다.

우리는 이 블록을 확률 분포를 블록이 쌓여 있는 것으로 생각할 수 있다
왼쪽 Pr, 오른쪽 Pg 라고 한다. 왼쪽에 쌓인 8개의 블록을 오른쪽 모양과 같이 옮긴다.

이 그림을 통해서 우리는 이동 cost를 계산 할 수 있다.
이동 cost는 아래와 같다
※높이를 제외한 위치만 고려한 이동 cost

cost는 항상 동일한 이동 cost만 가지는 것은 아니다.
아래의 두 방법을 확인해보자

위 그림에서 검은 블록은 회색 블록의 위ㅣ로 이동시 두가지 방법이 제안된다.
서로 위치를 바꾸는 첫번째 방법, 양쪽 끝의 블록을 이동시키는 방법

이 두가지 방법에 대한 이동 cost를 표현한다면 아래와 같다.

2의 cost를 사용해도 목표한 위치로의 이동이 가능하기 때문에 이 cost의 최솟값은 2라고 할 수 있다.

여러가지 이동 cost 방법중 하나 하나를 joint 확률 분포라고 생각 가능하다
위 그림의 표의 세로축이 1,2,3에 있는 블록의 갯수 가로축이 7,8,9에 있는 블록 갯수를 의미한다.
왼쪽 표의 모든 값들을 6으로 나눠주면 모든 요소의 합이 1임으로 joint 확률 분포로 생각이 가능하다.

해당 이동 cost 계산도 아래 그림 처럼 변경시 확률 분포로 표현이 가능한 것이다.

해당 확률 분포를 통해서 W를 계산시 아래와 같이 나온다