항해99, 5주차 플로이드워셜 알고리즘

Today I learned
2022/02/08

회고록

2/08

항해 99, 알고리즘 4주차(항해 5주차)

교재 : 파이썬 알고리즘 인터뷰 / 이것이 코딩테스트다(동빈좌)

최단경로

1. 이론

📌 플로이드-워셜(Floyd-Warshall) 알고리즘이란?

모든 최단 경로를 구하는 알고리즘
다익스트라는 하나의 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 거리를 구하는 알고리즘(S.S.S.P - Single Source Shortest Path) 이었다면, 플로이드-워셜 알고리즘은 한 번 실행하여 모든 노드 간 최단 경로를 구할 수 있습니다.

플로이드-워셜 알고리즘은 다익스트라 알고리즘과는 다르게 음의 간선도 사용할 수 있다.

🔍 플로이드-워셜 알고리즘의 과정

모든 노드 간의 최단거리를 구해야 하므로 2차원 인접 행렬을 구성합니다. 알고리즘은 여러 라운드로 구성됩니다. 라운드마다 각 경로에서 새로운 중간 노드로 사용할 수 있는 노드를 선택하고, 더 짧은 길이를 선택하여 줄이는 과정을 반복합니다.

[step 0] 그래프의 노드와 간선에 따라 최단 거리 테이블을 갱신한다.

[step 1] 1번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

[step 2] 2번 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

[step ~] 3번, 4번, ... 노드를 거쳐 가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신한다.

2. 구현

INF = int(1e9)  # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수 및 간선의 개수를 입력받기
n = 4
m = 7
# 2차원 리스트(그래프 표현)를 만들고, 모든 값을 무한으로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

temp = [
    [1, 2, 4],
    [1, 4, 6],
    [2, 1, 3],
    [2, 3, 7],
    [3, 1, 5],
    [3, 4, 4],
    [4, 3, 2]
]

# 각 간선에 대한 정보를 입력 받아, 그 값으로 초기화
for i in range(m):
    # A에서 B로 가는 비용은 C라고 설정
    row = temp[i]
    graph[row[0]][row[1]] = row[2]

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
        if graph[a][b] == 1e9:
            print("INFINITY", end=" ")
        # 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
        else:
            print(graph[a][b], end=" ")
    print()

# 4
# 7
# 1 2 4
# 1 4 6
# 2 1 3
# 2 3 7
# 3 1 5
# 3 4 4
# 4 3 2

이미지 출처 : https://velog.io/@kimdukbae/%ED%94%8C%EB%A1%9C%EC%9D%B4%EB%93%9C-%EC%9B%8C%EC%85%9C-%EC%95%8C%EA%B3%A0%EB%A6%AC%EC%A6%98-Floyd-Warshall-Algorithm