이 문서는 필자가 배운 벡터의 기본적인 특성들에 대해서 기술한다.
기본적이지 않을 수도, 내용이 틀릴 수도 있으니 피드백은 언제나 환영이다!

Linearity (선형성)

'선형'대수학이니, 선형성부터 알아보자.

수식으로 표현하면,

사실 아래의 두가지의 성질이 합쳐져서 나타난 것이다.

• Superposition (중첩)

  $f(x_1 + x_2) = f(x_1) + f(x_2)$

• Homogeneity (동종성)

  $f(ax) = af(x)$

Vector (벡터)

Magnitude(크기) + Direction(방향, orientation)
혹은 여러 개의 숫자(데이터)가 특정한 순서대로 모여 있는 것

아래와 같이 표기한다.

또는

컴퓨터가 다루는 데이터들은 숫자로 구성되어있고,
하나씩 넘겨주는 것보다 묶어서 넘겨주는 것이 나으므로, 자연스레 벡터를 쓸 수 밖에 없다!

Linear Combination (선형조합)

여러 개의 벡터를 스칼라곱을 한 후 더한 것

이 식에서 $c_1, \cdots, c_N$은 스칼라 계수다.

이잉? 갑자기 곱하고 더한다고? 아래의 두가지 개념을 살펴보고 다시 오면 된다.

스칼라와 벡터의 곱

양의 실수와 벡터를 곱하면 벡터의 방향은 변하지 않고 실수의 크기만큼 벡터의 길이가 커진다.
만약 음의 실수를 곱하면 벡터의 방향이 반대가 된다.

그림으로 간단히 이해하자
출처 : Google CCL

벡터의 합

벡터와 벡터의 합도 벡터가 된다.
이때 두 벡터의 합은 그 두 벡터를 이웃하는 변으로 가지는 평행사변형의 대각선 벡터가 된다.

그림으로 간단히 이해하자

출처 : Google CCL

Magnitude, Norm (벡터의 크기, 놈)

벡터의 크기는 Norm이라는 것으로 나타낸다.

기본적인 형태는 위와 같으나, 보통 $p=1, \ p=2,\ p=\infty$ 인 경우를 자주 사용하고,

• $L_2 Norm$ : $\sqrt{\sum (x_i)^2}$
• $L_1 Norm$ : $\sqrt{\sum |x_i|}$
• $L_\infty Norm$ : $max_{i} \;\;|x_i - y_i|$

그중에서도 $p=2$인 $L_2 Norm$이 주로 쓰인다.

Inner Product (내적)

$x \cdot y \;\;\;= \;\;\;||x|| \cdot ||y|| \cdot cos\theta \;\;\;= \;\;\;\sum x_iy_i$

위의 식에서 $||y|| \cdot cos\theta$는, 벡터 $y$의 벡터 $x$에 대한 투영길이가 된다.
그림으로 이해해보자
출처 : 위키피디아

단위벡터 (unit vector)

길이가 1인 벡터

예를 들어 다음과 같은 벡터들은 모두 단위벡터다.

다음 벡터는 벡터 자신의 크기인 $L_2Norm$으로 나눠주었기 때문에,
벡터 $x$와 같은 방향을 가리키는 단위벡터가 된다.

Orthogonality (직교)

두 벡터 $x$와 $y$가 이루는 각이 90도이면 서로 직교(orthogonal)라고 한다.

$\cos 90^{\circ} = 0$이므로 서로 직교인 두 벡터의 내적은 0이 된다.

Vector distance (유클리드 거리)

두 벡터가 가리키는 점 사이의 거리
두 벡터의 유클리드 거리는 벡터의 차의 길이로 구할 수 있다.

벡터의 놈의 정의를 통해 유클리드 거리는 다음처럼 구한다.

또한, 루트 안에 있는 식은 다음과 같이 펼칠 수 있다.