백준 - 베르트랑 공준

문제 설명

베르트랑 공준은 임의의 자연수 n에 대하여, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수는 적어도 하나 존재한다는 내용을 담고 있다.

이 명제는 조제프 베르트랑이 1845년에 추측했고, 파프누티 체비쇼프가 1850년에 증명했다.

예를 들어, 10보다 크고, 20보다 작거나 같은 소수는 4개가 있다. (11, 13, 17, 19) 또, 14보다 크고, 28보다 작거나 같은 소수는 3개가 있다. (17,19, 23)

자연수 n이 주어졌을 때, n보다 크고, 2n보다 작거나 같은 소수의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

코드

import java.util.Scanner;

public class Main {
	public static void main(String[] args) {

		Scanner in = new Scanner(System.in);
        while(true){
            int n = in.nextInt();
            int cnt = 0;
            if(n==0) { //n이 0일 때 반복문 탈출
                break;
            }
            int arr[] = new int[2*n+1]; // 2n+1 크기의 배열 생성
            arr[0] = 1; //0, 1은 소수가 아니므로 1로 지정
            arr[1] = 1;
            
            for (int i=2; i<=Math.sqrt(2*n+1); i++) { //에라토스테네스의 체
                for (int j = i*i; j<2*n+1; j+=i) {
                    arr[j] = 1;  // 소수가 아닌 값들을 1로 설정
                }
            }
            for(int i = n+1; i<2*n+1; i++) {
                if(arr[i] == 0) { //0인 값은 소수이므로 cnt 증가
                    cnt++;
                }
            }
            System.out.println(cnt);
        }
	}
}

에라토스테네스의 체

1. 2부터 소수를 구하고자 하는 구간의 모든 수를 나열한다. 그림에서 회색
2. 2는 소수이므로 오른쪽에 2를 쓴다.
3. 자기 자신을 제외한 2의 배수를 모두 지운다.
4. 남아있는 수 가운데 3은 소수이므로 오른쪽에 3을 쓴다.
5. 자기 자신을 제외한 3의 배수를 모두 지운다.
6. 남아있는 수 가운데 5는 소수이므로 오른쪽에 5를 쓴다.
7. 자기 자신을 제외한 5의 배수를 모두 지운다.
8. 남아있는 수 가운데 7은 소수이므로 오른쪽에 7을 쓴다.
9. 자기 자신을 제외한 7의 배수를 모두 지운다.
10. 위의 과정을 반복하면 구하는 구간의 모든 소수가 남는다.

어떤 수의 소수의 여부를 확인 할 때는, 특정한 숫자의 제곱근 까지만 약수의 여부를 검증하면 된다.
수가 수(N이라고 가정)를 나누면 몫이 생기는데, 몫과 나누는 수 둘 중 하나는 N 제곱근 이하이기 때문이다
ex) 36 -> (1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36)