Intro.

z-test는 표본 통계량(평균, 비율 등)이 정규분포를 따른다는 가정 하에, 모집단의 모수와의 차이를 검정하거나 두 집단 간의 차이를 검정하는 가설 검정 기법이다.

z-test 가정.

• 정규성 (Normality) : 모집단이 정규 분포를 따른다고 가정한다. 또는 표본 수가 충분히 크다면 ($n \ge 30$), “중심극한정리”에 의해 정규 분포에 근사한다.
• 독립성 (Independence) : 각 관측치는 서로 독립적이어야 한다.
• 모집단의 표준편차 $\sigma$를 알고 있음 : 모집단의 표준편차가 필요하다. 하지만 실제로 모집단의 표준편차를 정확히 아는 경우는 드물다. 대부분에 실무에서는 $n$이 충분히 크다면, 표본 표준편차 $s \approx \sigma$로 근사하여 사용한다.
• 이항 비율이 정규분포에 근사해야 함 - 비율검정 시 :
  $np \ge 5, n(1-p) \ge 5$
  위 식을 만족 시킬수 있어야 한다. 예를 들어 아래 표와 같을 때, 1의 경우 위 식을 만족하지만, 아래의 경우 부족한 것을 볼 수 있다.

  	표본 수 $n$	기대 전환률 $p$	기대 성공 수 $np$
  1	1000	0.05	50
  2	100	0.01	1

z-test 종류.

1. 단일표본 z-test

하나의 표본 평균이 어떤 기준 모평균 $\mu_0$과 유의하게 다른지를 검정한다.

검정 종류	$H_0$	$H_1$	설명
양측 검정	$\mu=\mu_0$	$\mu \ne \mu_0$	평균 차이 여부 일반 검정
단측 (우측)	$\mu \le \mu_0$	$\mu > \mu_0$	실험군이 더 높다고 주장
단측 (좌측)	$\mu \ge \mu_0$	$\mu < \mu_0$	실험군이 더 낮다고 주장

• $\bar{x}$ : 표본 평균
• $\mu_0$ : 기준 모평균
• $\sigma$ : 모집단의 표준편차
• $n$ : 표본 크기

# 예시: 한 공장에서 생산한 제품의 평균 길이가 100mm 이상인지 검정
# 모집단의 표준편차 = 5라 가정

import scipy.stats as stats
import numpy as np

# 입력값
mu_0 = 100
sigma = 5
sample = np.array([101.3, 100.8, 101.5, 101.0, 101.2])
n = len(sample)
x_bar = np.mean(sample)

# z-test 수동 계산
z = (x_bar - mu_0) / (sigma / np.sqrt(n))
p = 2 * (1 - stats.norm.cdf(abs(z)))  # 양측 검정

print(f"Z = {z:.3f}, p-value = {p:.4f}")

2. 두 평균 z-test

두 독립 집단의 평균이 서로 얼마나 다른지를 검정한다.

검정 종류	$H_0$	$H_1$	설명
양측 검정	$\mu_1=\mu_2$	$\mu_1 \ne \mu_2$	평균 차이 여부 일반 검정
단측 (우측)	$\mu_1 \le \mu_2$	$\mu_1 > \mu_2$	실험군이 더 높다고 주장
단측 (좌측)	$\mu_1 \ge \mu_2$	$\mu_1 < \mu_2$	실험군이 더 낮다고 주장

• $\bar{x_1}, \bar{x_2}$ : 각 집단의 표본 평균
• $\sigma_1, \sigma_2$ : 각 모집단의 표준편차
• $n_1,n_2$ : 각 집단의 표본 크기

# 예시: A,B 두 공장 라인의 차이를 검정
# A라인의 모집단 표준편차 = 4, B라인의 모집단 표준편차 = 3.5라 가정

import scipy.stats as stats
import numpy as np

mu1, sigma1, n1 = 100.0, 4.0, 40
mu2, sigma2, n2 = 98.7, 3.5, 35

z = (mu1 - mu2) / np.sqrt(sigma1**2 / n1 + sigma2**2 / n2)
p = 2 * (1 - stats.norm.cdf(abs(z)))

print(f"Z = {z:.3f}, p-value = {p:.4f}")

3. 두 비율 z-test

두 집단의 이진비율($p$)을 비교한다.

검정 종류	$H_0$	$H_1$	설명
양측 검정	$p_1=p_2$	$p_1 \ne p_2$	평균 차이 여부 일반 검정
단측 (우측)	$p_1 \le p_2$	$p_1 > p_2$	실험군이 더 높다고 주장
단측 (좌측)	$p_1 \ge p_2$	$p_1 < p_2$	실험군이 더 낮다고 주장

# 예시: A,B 그룹의 전환율 차이 (A/B Test)

from statsmodels.stats.proportion import proportions_ztest

success = [50, 65]
nobs = [1000, 1000]

z_stat, p_val = proportions_ztest(success, nobs)

print(f"Z = {z_stat:.3f}, p-value = {p_val:.4f}")

# 결과: Z = -1.441, p-value = 0.1496
# 귀무가설을 기각하지 못함

해당 $p$ - $value$ 계산 결과 0.05보다 작을 경우, 전환률이 유의미 하다고 본다. 반대로 0.05보다 클 경우 효과가 없다고 해석한다.