<Data Structure> Spanning Tree

imkkuk·2022년 2월 12일
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Data Structure

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목표

  • Spanning Tree, Minimum Spanning Tree(MST)에 대한 개념과 만드는 방법을 알 수 있습니다.

수준

  • 미리 선행해서 알아야 할 내용은 없습니다.


Spanning Tree


💡 그래프 내의 모든 정점을 포함하는 트리
  • Spanning Tree = 신장 트리
    • 신장 : span을 그대로 번역한 한것으로, 한 노드에서 다른 모든 노드로 갈 수 있다는 의미로 보임
    • Tree : 서로 다른 두 노드를 잇는 길이 하나뿐인 그래프
      • Graph : 꼭짓점과 변으로 이루어지는 구조
💡 Spanning Tree는 그래프의 최소 연결 부분 그래프이다.
  • 최소연결 = 간선의 수가 가장 적다.
    • n개의 정점을 가지는 그래프의 최소 간선의 수는 (n-1)이고, (n-1)개의 간선으로 연결되어 있으면 필연적으로 트리 형태가 되고 이것이 바로 Spanning Tree가 된다.

특징

  1. DFS, BFS를 이용하여 그래프에서 신장트리를 찾을 수 있다.
    • 탐색 도중에 사용된 간선만 모으면 만들 수 있다.
  2. 하나의 그래프에 많은 신장 트리가 존재할 수 있다.
  3. Spanning Tree는 트리의 특수한 현태이므로 모든 정점들이 연결되어 있어야 하고, 사이클을 포함해서는 안된다.
  4. Spanning Tree는 그래프에 있는 n개의 정점을 정확히 (n-1)개의 간선으로 연결 한다.

사례

  1. 회사 내의 모든 전화기를 가장 적은 수의 케이블을 사용하여 연결하고자 하는 경우
  2. n개의 위치를 연결하는 통신 네트워크를 최소의 링크를 이용하여 구축하고자 하는 경우


MST


Minimum Spanning Tree : 최소 신장 트리

💡 Spanning Tree 중에서 사용된 간선들의 가중치 합이 최소인 Tree를 MST라고 한다.
  • MST는 간선에 가중치를 고려해서 최소 비용의 Spanning Tree를 선택하는 것을 말한다.

특징

  1. Spanning Tree의 특징을 그대로 가진다.
  2. 간선의 가중치 합이 최소여야 한다.

사례

  1. 도로 건설
  2. 전기 회로
  3. 통신
  4. 배관


MST Algorithm


Kruskal MST Algorithm

💡 탐욕적인 방법(greedy method)을 이용해서 네트워크의 모든 정점을 최소 비용으로 연결하는 최적 해답을 구하는 것
  • 간선 선택 기반 알고리즘
  • 이전 단계에서 만들어진 신장 트리와 상관없이 무조건 최소 간선만을 선택하는 방법

과정

  1. 그래프의 간선들을 가중치의 오름차순으로 정렬
  2. 정렬된 간선 리스트에서 순서대로 사이클을 형성하지 않는 간선 선택
  3. 선택한 간선을 MST 집합에 추가
  4. MST가 만들어질때까지 반복

Prim MST Algorithm

💡 시작 정점에서부터출발하여 신장트리 집합을 단계적으로 확장 해나가는 방법
  • 정점 선택 기반 알고리즘
  • 이전 단계에서 만들어진 신장 트리를 확장하는 기법

과정

  1. 시작 정점만 MST 집합에 포함
  2. MST 집합에 인접한 정점들 중에서 최소 비용의 간선으로 연결된 정점을 선택해서 트리를 확장
  3. MST가 만들어질 때까지 반복

알고리즘 복잡도

Kruskal의 MST 알고리즘 복잡도

💡 간선이 적을때 유리

Kruskal 알고리즘은 대부분 간선들을 정렬하는 시간에 좌우된다.
사이클 테스트 등의 작업은 정렬에 비해 매우 신속하게 수행된다.

  • 네트워크의 간선 e개를 퀵정렬과 같은 효율적인 알고리즘으로 정렬한다면 Kruskal 알고리즘의 시간복잡도는 O(eloge)O(e*loge)가 된다.

Prim의 MST 알고리즘 복잡도

💡 간선이 많을때 유리

주 반복문이 정점의 수 n만큼 반복하고, 내부 반복문이 n번 반복하므로 Prim의 알고리즘은 O(n2)O(n^2)의 복잡도를 가진다.


알고리즘 사용 위치

희박한 그래프

  • O(eloge)O(e*loge)인 Kruskal의 알고리즘이 유리하다.

밀집한 그래프

  • O(n2)O(n^2)인 Prim의 알고리즘이 유리하다
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