수치해석 CH6

Simple fixed point iteration

Fixed point

• 함수에 대해 자기 자신으로 매핑되는 원소.
• 상수 c에 대해 $f(c) = c$ 인 경우
  • Domain 과 Co-domain 에 c가 모두 속한다.
    
    
• 만나는 점들이 Fixed Point 가 된다.
• 모든 함수가 Fixed point를 가지진 않는다.
  • Ex. $f(x) = x + 1$

예시

• 위의 근을 구하기

1. $x_{i+1} = g(x)$ 형태로 변환하기

• 새로이 구한 $x^{i+1}$ 은 다시 $g(x)$ 에 대입.

2. $x_0$ 부터 시작해 위 식을 반복한다.

• $x_0$ 에서 시작해 근을 찾는 과정
• 아래 경우 $x_0$ 은 0부터 시작한다.
  
• (c), (d) 의 경우처럼 발산할수도 있다.

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Newton-Raphson Method

• 미분과 이를 통해 구한 기울기를 사용한다.
  • 즉, 수치해석적 미분이 아닌 미분식을 구해 사용한다.
• $x_{i+1} = x_i - \frac{f(x_i)}{f`(x_i)}$ 를 반복한다.

• 매우 빠르게 근에 접근한다.
• 하지만 $x^10 - 1$ 과 같은 경우는 근을 빨리 찾지 못한다.

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Secant Method

• 뉴튼 렙슨 방식에서 미분을 수치해석적으로 구한다.
  

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Modified Secant Method

• 수치 미분을 구할때, $\delta$ 값을 매우 작게 둔다.
• 이전 x값과 현재 x값을 사용해 기울기를 구한다.
  
  

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Brent Method

• CH5와 CH6의 방식을 조건에 따라 사용하는것.
• 정해진 구간을 벗어날 시 Bisection 사용, 범위 내에 있으면 CH6의 방식을 사용한다.