😎 크루스칼 알고리즘
대표적인 최소 신장 트리 알고리즘(MST)
- 그리디 알고리즘으로 분류된다.
크루스칼 알고리즘을 적용하는데 필요한 유니온파인드부터 공부하고 넘어가자.
⚽️ 서로소 집합(Disjoint Sets)
서로소 집합은 공통원소가 없는 두 집합을 의미한다.
🧐 서로소 집합 자료구조
서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다.
- 합집합(Union) : 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
- 찾기(Find) : 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다.
여러 개 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다.
합집합(Union) 연산을 확인하며, 서로 연결된 두 노드 A,B를 확인한다.
- A와B의 루트 노드 A', B'를 각각 찾는다.
- A'를 B'의 부모 노드로 설정한다.
모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다.
😙 서로소 집합 자료구조 : 동작 살펴보기
처리할 연산들 : Union(1,4) Union(2,3) Union(5,6)
초기 단계(초기 세팅) : 노드의 개수 크기의 부모 테이블을 초기화한다.
- 모두 본인을 가리키도록 세팅
처리할 연산들: 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(1,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,3), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(5,6)
[Step 1] 노드 1과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 1과 4이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 4의 부모를 1로 설정한다.
처리할 연산들: 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(1,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,3), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(5,6)
[Step 2] 노드 2과 노드 3의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 2와 3이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 3의 부모를 2로 설정한다.
처리할 연산들: 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(1,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,3), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(5,6)
[Step 3] 노드 2과 노드 4의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 2와 1이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 2의 부모를 1로 설정한다.
처리할 연산들: 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(1,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,3), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(2,4), 𝑈𝑛𝑖𝑜𝑛(5,6)
[Step 4] 노드 5과 노드 6의 루트 노드를 각각 찾는다. 현재 루트 노드는 각각 5와 6이므로 더 큰 번호에 해당하는 루트 노드 6의 부모를 5로 설정한다.
🥸 서로소 집합 자료구조 : 연결성
- 서로소 집합 자료구조에서는 연결성을 통해 손쉽게 집합의 형태를 확인할 수 있다.
기본적인 형태의 서로소 집합 자료구조에서는 루트 노드에 즉시 접근할 수 없다.
- 루트 노드를 찾기 위해 부모 테이블을 계속해서 확인하며 거슬러 올라가야 한다.
😘 서로소 집합 자료구조 : 경로 압축
⚽️ 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축을 이용하낟.
- 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다.
경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다.
동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신된다
기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선된다
🐶 경로 압축을 적용한 파이썬 코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')서로소 집합을 활용한 사이클 판별
서로소 집합은 무방향 그래프 내에서의 사이클을 판별할 때 사용할 수 있다.
- 참고로 방향 그래프에서의 사이클 여부는 DFS를 이용하여 판별할 수 있다.
사이클 판별 알고리즘
1. 각 간선을 하나씩 확인하며 두 노드의 루트 노드를 확인한다.(find 연산을 통해 확인)
1-1. 루트 노드가 서로 다르다면 두 노드에 대하여 합집합(Union)연산을 수행한다.
1-2. 루트 노드가 서로 같다면 사이클(Cycle)이 발생한 것이다.
2. 그래프에 포함되어 있는 모든 간선에 대하여 1번 과정을 반복한다.
🏀 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 : 동작 과정 살펴보기
초기 단계(초기 세팅) : 모든 노드에 대하여 자기 자신을 부모로 설정하는 형태로 부모 테이블을 초기화한다.
[Step 1] 간선 (1,2)를 확인한다. 노드 1과 노드 2의 루트 노드는 각각 1과 2이다. 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 2의 부모 노드를 1로 변경한다.
[Step 2] 간선 (1,3)을 확인한다. 노드 1과 노드 3의 루트 노드는 각각 1과 3이다. 따라서 더 큰 번호에 해당하는 노드 3의 부모 노드를 1로 변경한다.
[Step 3] 간선 (2,3)을 확인한다. 이미 노드 2과 노드 3의 루트 노드는 모두 1이다. 다시 말해 사이클이 발생한다는 것을 알 수 있다.
💨 서로소 집합을 활용한 사이클 판별 코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
cycle = False # 사이클 발생 여부
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
# 사이클이 발생한 경우 종료
if find_parent(parent, a) == find_parent(parent, b):
cycle = True
break
# 사이클이 발생하지 않았다면 합집합(Union) 연산 수행
else:
union_parent(parent, a, b)
if cycle:
print("사이클이 발생했습니다.")
else:
print("사이클이 발생하지 않았습니다.")☃️ 이제 드디어 MST
신장 트리
그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다.
- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 하다.
😎 최소 신장 트리(MST)
최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할때 어떻게 해야 할까?
예를 들어, N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우 생각.
- 두 도시 A,B를 선택했을 때, A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치한다.
🤓 크루스칼 알고리즘
대표적인 최소 신장 트리 알고리즘
- 그리디 알고리즘으로 분류된다.
구체적인 동작과정은 다음과 같다.
1. 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다.
2. 간선을 하나씩 확인하면서 현재의 간선이 사이클이 발생시키는지 확인한다.
2-1. 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다.
2-2. 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다.
3. 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다.
크루스칼 알고리즘 동작 과정 살펴보기
초기 단계(초기 세팅) : 그래프의 모든 간선 정보에 대해 오름차순 정렬을 수행한다.
[Step 1] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (3,4)를 선택하여 처리한다
[Step 2] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (4,7)을 선택하여 처리한다
[Step 3] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (4,6)을 선택하여 처리한다
[Step 4] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (6,7)을 선택하여 처리한다
[Step 5] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (1,2)를 선택하여 처리한다
[Step 6] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (2,6)을 선택하여 처리한다
[Step 7] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (2,3)을 선택하여 처리한다
[Step 8] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (5,6)을 선택하여 처리한다
[Step 9] 아직 처리하지 않은 간선 중에서 가장 짧은 간선인 (1,5)를 선택하여 처리한다
알고리즘 수행 결과
최소 신장 트리에 포함되어 있는 간선의 비용만 모두 더하면, 그 값이 최종 비용에 해당한다.
😎 크루스칼 알고리즘 코드
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)크루스칼 알고리즘 성능 분석
크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때 O(ElogE)의 시간 복잡도를 가진다.
크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분!
