👻 다익스트라 알고리즘
가장 먼저 대표적인 최단 경로 알고리즘인 다익스트라 알고리즘에 대해 알아보자.
😀 다익스트라 최단 경로 알고리즘 : 한 지점(특정한 노드)에서 다른 모든 지점(다른 모든 노드)로 가는 최단경로 계산한다.
- 다익스트라 최단경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
- 매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택한다.
최단 경로 알고리즘의 아이디어
말 그대로 특정 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구한다거나, 모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로를 구하는 문제이다.
- 보통 최단 경로 문제는 그래프를 이용하는데, 각 지점은 그래프에서 노드로 표현되고, 경로는 간선으로 표현된다.
😀 실제 코딩테스트에서는 최단 경로를 모두 출력하는 문제보다는 단순히 최단 거리를 출력하도록 요구하는 문제가 많이 출제된다고 한다.
이 중 다익스트라 알고리즘은 간단하게 구현하되, 시간이 오래걸리는 방법과 구현하기는 까다롭지만 시간이 빠르게 동작하는 방법 2가지를 소개한다.
😀 다익스트라 알고리즘은 단방향, 양방향(사이클) 모두 사용할 수 있다 !
알고리즘
다익스트라 알고리즘은 알고보면 그리디 알고리즘과 다이나믹 프로그래밍 알고리즘이 자연스레 녹아들어 있다. 다익스트라 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 존재할 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
🎈 다익스트라 최단 경로 알고리즘은 매번 가장 거리가 짧은 노드를 선택해서 임의의 횟수의 과정을 계속적으로 반복하게 된다.
동작원리
- 출발 노드를 설정 (시작점 설정!)
- 최단 거리 테이블을 초기화(그러므로 최단 거리를 기록할 테이블을 정의해야 한다.)
- 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택(방문하지 않은 노드를 체크해야 하므로 중복 체크 리스트를 따로 가지고 있어야 한다.)
- 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 간선 비용을 계산하여 최단 거리 테이블에 갱신한다.
- 위 과정에서 3,4를 반복한다.
😀 위 단계에서도 써있다시피 구현하기 위해 먼저 2가지의 빈 1차원 리스트를 정의해 주어야 한다. 첫번째는 최단거리를 기록할 테이블이다. 이 리스트는 인덱스를 노드 번호로 하기 위해 n개의 노드가 있다고 가정할 때 n+1길이로 하면서 원소값은 매우 큰 수를 넣어준다.
- 대충 INF에 1e8정도를 주면 될 것이다.
두 번째는 방문한 노드가 무엇인지 체크하기 위한 리스트이다. 이것도 마찬가지로 인덱스를 노드 번호로 하기 위해 n개의 노드가 있다고 할 때 n+1길이로 하는 리스트를 정의해준다.
💨 알고리즘 동작 과정에서 최단거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단거리 정보(출발 노드에서 특정노드까지의 최단거리 정보)를 갖는다.
- 이제 구체적인 다익스트라 알고리즘 동작을 살펴보자.
1번째 초기 단계
시작노드가 빨간색인 1번 노드라고 가정하자.
그리고 아래 표는 시작노드가 1번이라고 가정하고 1번 노드로부터 각 노드들 간의 거리를 표로 나타낸다. 그래서 최초에는 시작노드인 1번 노드에서 1번 노드로부터의 거리는 0이기 때문에 업데이트 해주고 나머지 값은 무한(INF)으로 초기화
2번째 단계
이제 시작노드인 1번 노드로부터 도달할 수 있는(간선 하나로) 인접 노드들의 거리를 표에 갱신시켜준다.
갱신할 때 현재 처리중인 노드를 거쳐갈 때의 비용과 현재까지의 비용을 비교해서 더 짧은 비용으로 갱신한다.
3번째 단계
이제 시작노드인 1번 노드를 방문처리 하고 1번 노드의 인접노드들 중 방문하지 않은 노드들(아직까진 1번노드밖에 방문하지 않았으므로 2,3,4번 노드 모두 후보가 된다.) 중 시작 노드인 1번 노드와 가장 최단 거리인 4번 노드를 다음에 탐색할 노드로 선택한다. 참고로 아래 그림에서 회색은 방문 노드, 점선으로된 간선은 이미 처리한 간선을 의미한다.
이제 여기서부터 중요하다. 먼저 탐색할 4번 노드는 3번, 5번과 간선으로 연결되어 있다. 먼저 3번에 대해 표를 갱신하는 부분을 살펴보면 min(5,1+3)이라고 되어있다. 여기서 5는 2번째 단계에서 갱신했던 시작노드 1번에서 3번 노드로 한번에 갈 수 있는 거리였다. 그리고 1+3이라고 되어 있는 부분은 시작노드 1번에서 4번노드로 가는 비용 1 + 4번노드에서 3번 노드로 가는 비용3을 의미한다. 이 중 거리비용을 최소화 하는 경로는 시작노드인 1번에서 3번으로 가는 것보다 4번노드를 거쳐 3번 노드로 가는 즉 1 → 4 → 3으로 가는 경로가 최단경로가 된다.
이런 방식으로 동일하게 4번노드의 인접노드인 5번 노드로 갱신해준다. (참고로 5번 노드는 2번째 단계에서 시작노드인 1번과 연결되어 있지 않아서 무한대값이였기 때문에 당연히 4번노드를 통해 가는 것이 최단경로!)
🏈 이제 다익스트라 알고리즘을 이해한 것과 마찬가지이다. 다음에 탐색할 노드를 선정해보면 가장 마지막으로 갱신된 최단거리 테이블 기준으로 방문하지 않은 노드들 중 가장 거리가 작은 즉, 원소 값이 가장 작은 인덱스 번호를 다음으로 탐색할 노드로 선정한다. 위 예시에서 2번 5번 노드 거리비용이 2로 동일한데, 이때 노드 번호가 작은 순서대로 먼저 탐색하는 걸로 한다.
4번째 단계
2번 노드도 똑같이 도달할 수 있는 간선으로 연결되어 있는 인접 노드인 3,4번 노드에 대한 간선 비용을 위와 같이 갱신한다. 그리고 방문하지 않은 노드 중 갱신한 테이블 기준으로 시작노드와 가장 최단거리인 5번 노드를 탐색한다. 이런 식으로 모든 노드를 한번씩 탐색하여 다익스트라 알고리즘 과정을 최종적으로 완료하면 된다.
🏈 결국 다익스트라 알고리즘은 방문하지 않은 노드 중에서 가장 최단거리가 짧은 노드를 선택하는 과정을 반복하는게 핵심이다. 그런데 여기서 자세히 살펴본다면, 각 단계마다 탐색노드로 한번 선택된 노드는 최단거리가 갱신되고 난 후 재갱신되지 않는 것을 확인할 수 있다.
다익스트라 알고리즘 코드
import sys
from collections import deque
# sys.stdin = open("input.text", "rt")
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
#노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
N,M = map(int, input().split())
#시작노드(출발노드) 입력받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for _ in range(N+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (N+1) #일단 전부 방문 안한걸로.
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
dis = [INF] * (N+1)
#모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(M):
a,b,c = map(int, input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c)) #인접행렬로 안만드네???????
#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range(1,N+1):
if dis[i] < min_value and not visited[i]: #거리가 가장 짧으면서 아직 방문하지 않은 경우.
min_value = dis[i]
index = i
return index
def dijkstra(start): #다익스트라 알고리즘
#시작 노드에 대해서 초기화 항상 출발 노드부터 처리하고 시작하자!
dis[start] = 0
visited[start] = True #방문.
for j in graph[start]: #출발노드에서 인접노드까지의 거리를 초기화
dis[j[0]] = j[1] #j[0]은 (현재노드. 즉 출발노드에서)인접노드 번호, j[1]은 인접노드까지의 거리!
#시작 노드를 제외한 전체 N-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(N-1):
#현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서 방문처리 -- 출발노드는 방문처리 했으니 그 이후부터 나올꺼야
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now]:
cost = dis[now] + j[1] #현재 노드를 거치는거야!
#현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < dis[j[0]]:
dis[j[0]] = cost
#다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,N+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한이라고 입력
if dis[i] == INF:
print("INFINITY")
else: #도달할 수 있는 경우 거리 출력
print(dis[i])다익스트라 알고리즘 간단한 구현 방법 성능 분석
총 O(v)번에 걸쳐서 최단거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
따라서 전체 시간 복잡도는O(V^2)이다. (V는 노드의 개수를 의미)
- 일반적으로 코딩테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드 개수가 5000개 이하라면 위 코드로 문제를 해결할 수 있다 !
- 하지만 노드의 개수가 10000개가 넘어가는 문제라면 어떻게 해야할까?
우선순위 큐(힙)을 사용하여 다익스트라 구현
🏈 우선순위 큐는 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
- 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 이용
예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었따가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
🏈 힙
- 우선순위 큐를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나!
- 최소힙, 최대힙이 있다
- 다익스트라 최단경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용한다.
개선된 다익스트라 알고리즘 구현(우선순위 큐)
🏈 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙 자료구조를 이용한다.
- 다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본원리는 동일해.
- 현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
- 현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 이용한다.
import sys
import heapq as heap #heap이라는 이름으로 사용할꺼야
# sys.stdin = open("input.text", "rt")
INF = int(1e9) #무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
#노드의 개수, 간선의 개수 입력
N, M = map(int, input().split())
#시작 노드 번호 입력(출발노드)
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트 만들기
graph = [[] for _ in range(N+1)]
#최단 거리 테이블을 모두 무한대로 초기화
dis = [INF] * (N+1) #노드 개수 만큼
#모든 간선 정보 입력
for _ in range(M):
a,b,c = map(int, input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c)) #인접행렬 2차원리스트 안쓰고 튜플 쓰네??
#방문 처리 목적으로 따로 테이블 사용하지 않을꺼야!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
#다익스트라 알고리즘
def dijkstra(start):
q = []
#힙을 이용할꺼야 --- 힙에 (거리, 노드) 이렇게 넣을꺼야!!
heap.heappush(q, (0,start)) #시작 노드로 가기 위한 최단경로는 0으로 설정, 큐에 삽입
dis[start] = 0
#출발노드에 대한 초기화 끝
while q: #큐가 비어있지 않다면
#가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heap.heappop(q) #기본적으로 우선순위 큐(힙)에는 가장 최단거리가 짧은 노드에 대한 정보가 먼저 꺼내질 수 있도록 구현이 되어 있기 때문에.. 그냥 바로 pop하면 돼
#현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if dis[now] < dist:
continue #이렇기에 visited 리스트 따로 만들어서 할 필요가 없어!
#현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1] #그래프에 저장된건 0번 인덱스가 노드 1번 인덱스가 비용이잖아!
#현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost<dis[i[0]]:
dis[i[0]] = cost
heap.heappush(q, (cost, i[0]))
#값이 갱신될 때마다 우선순위 큐에 해당 정보가 기록될 수 있도록.
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,N+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한
if dis[i] == INF:
print("INFINITY")
else: #도달할 수 있는 경우
print(dis[i])😀 힙 자료구조를 이용한 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
- 노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문은 노드의 개수 v 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
- 결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
😀 직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
heap.heappush(q, (0,start))
- 위 코드를 보면 (거리, 노드) 형태로 힙에 삽입하는 것을 볼 수 있다. 최소힙을 이용하기 위해 첫번째 데이터를 비용에 대한 거리로 줘야한다.
- 튜플 형태로 넣을 때 첫번째 원소를 기준으로 최소힙을 구성하기 때문 !
문제풀 때 마인드
다익스트라 함수의 기본 틀은 거의 같다. 다익스트라 함수를 어떻게 활용하는지가 중요하다!
💨 다익스트라 알고리즘 다시 풀어본 코드
import sys
sys.stdin = open("input.text", "rt")
import heapq
#힙큐를 이용한 다익스트라 알고리즘
INF = int(1e8)
#노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n,m = map(int, input().split())
#시작노드 번호 입력받기
start = int(input())
g = [[] for _ in range(n+1)] #1번 인덱스부터 사용하기 위해 그래프는 n+1
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보 입력받기
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
#a번 노드에서 b번 노드로 비용 c라는 의미
g[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = [] #큐를 사용하여 다익스트라 구현
#시작노드로 가기위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq.heappush(q, (0,start)) #q라는 힙에 (거리, 노드번호) 넣어준다
distance[start] = 0 #시작지점은 거리0
while q: #큐가 비어있지 않으면
#가장 최단거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq.heappop(q) #힙큐를 활용하여 q에서 최소힙을 유지하면서 최단거리 꺼냄
#현재 노드가 이미 처리된 노드라면 무시
if distance[now] <dist: #dist는 시작노드에서 현재노드까지의 거리.
continue #이미 저장된 거리가 더 작으면 할 필요가 없지(이미 처리된 것으로 간주하고 continue)
#현재 노드(now)와 연결된 다른 인접한 노드들 확인
for node in g[now]:
cost = dist + node[1] #node[0]은 현재 노드와 인접한 노드의 번호 node[1]은 인접한 노드까지 가는데 비용
#현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[node[0]]:
distance[node[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, node[0])) #값이 갱신될 떄마다 우선순위 큐에 넣어줘야해.
#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단거리를 출력
for i in range(1,n+1):
#도달할 수 없는 경우, 무한으로 출력
if distance[i] == INF:
print("도달할 수 없음")
#도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])
import sys
import heapq
sys.setrecursionlimit(10 ** 5)
sys.stdin = open("input.text", "rt")
# 노드의 개수, 간선의 개수 입력
n,m = map(int, input().split())
# 시작 노드 입력
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트
g = [[] for _ in range(n+1)]
# 최단거리 테이블 무한대로 초기화
INF = int(1e9)
dis = [INF] * (n+1)
### 여기까지가 기본 세팅 ###
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
g[a].append((b,c)) # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
# 힙 자료구조를 사용할 것이기에 방문 체크 리스트 필요없어
# 다익스트라 알고리즘
def dijkstra(start):
q = [] # 힙에 (거리, 노드) 삽입
heapq.heappush(q, (0, start))
dis[start] = 0
# 출발 노드에 대한 초기화 끝
while q: # 큐가 비어있지 않다면
distance, now = heapq.heappop(q) # 기본적으로 우선수누이 큐(힙)에는 최단거리 노드에 대한 정보가 먼저 꺼내질 수 있도록 구현되어 있다.
if dis[now] < distance: # 이미 기록되어 있는 거리가 더 작으면 갱신할 필요없음
continue
# 현재 노드(now)와 연결된 다른 인접한 노드들 확인
for node in g[now]: # 그래프 기준!!! 그래프는 0번 인덱스가 노드 번호 1번 인덱스가 비용
cost = distance + node[1] # 현재 노드를 거쳐서 node[0]번 노드로 가는 비용 cost
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 기존 최단거리보다 더 짧은 경우
if cost < dis[node[0]]:
dis[node[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, node[0])) # 값이 갱신될 때마다 우선순위 큐에 넣어줘야해
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단거리 출력
for i in range(1,n+1):
if dis[i] == INF:
print("INFINITY")
else: # 도달 가능
print(dis[i])
