🚀 1. 다익스트라 최단 경로 알고리즘
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다익스트라(Dijkstra) 최단 경로 알고리즘은 그래프에서 여러 개의 노드가 있을 때, 특정한 노드에서 출발하여 다른 노드로 가는 각각의 최단 경로를 구해주는 알고리즘이다.
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다익스트라 최단 경로 알고리즘은 '음의 간선'이 없을 때 정상적으로 동작한다.
음의 간선이란?
- 0보다 작은 값을 가지는 간선
- 현실 세계의 길(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않으므로 다익스트라 알고리즘은 실제로 GPS 소프트웨어의 기본 알고리즘으로 채택되곤 한다. -
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 기본적으로 그리디 알고리즘으로 분류된다.
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매번 '가장 비용이 적은 노드'를 선택해서 임의의 과정을 반복하기 때문이다.
원리
1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단 거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3.과 4.를 반복한다.
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다익스트라 알고리즘은 최단 경로를 구하는 과정에서 '각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리' 정보를 항상 1차원 리스트에 저장하며 리스트를 계속 갱신한다는 특징이 있다.
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매번 현재 처리하고 있는 노드를 기준으로 주변 간선을 확인한다.
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나중에 현재 처리하고 있는 노드와 인접한 노드로 도달하는 더 짧은 경로를 찾으면 '더 짧은 경로도 있었네? 이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 판단하는 것이다.
방법1. 간단한 다익스트라 알고리즘
- 노드가 5000개 이하일 때 사용하자. 그 이상은 '개선된 다익스트라 알고리즘' 이용!
시간 복잡도 : O() (V는 노드의 개수)
방법
① 각 노드에 대한 최단 거리를 담는 1차원 리스트를 선언한다
② 이후 단계마다 '방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택'하기 위해 매 단계마다 1차원 리스트의 모든 원소를 확인 (순차 탐색)한다.
전체 소스코드
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
# 노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
# a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a].append((b,c))
# 방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
min_value = INF
index = 0 # 가장 최단 거리가 짧은 노드 (인덱스)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] < min_value and not visited[i]:
min_value = distance[i]
index = i
return index
def dijkstra(start):
# 시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0
visited[start] = True
for j in graph[start]:
distance[j[0]] = j[1]
#시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n-1):
# 현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
# 현재 노드와 연결된 다른 노드 확인
for j in graph[now]:
cost = distance[now] + j[1]
# 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[j[0]]:
distance[j[0]] = cost
# 다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)
# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
# 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF:
print('INFINITY')
# 도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else:
print(distance[i])방법2. 개선된 다익스트라 알고리즘
- 우선순위 큐 사용해서 문제 해결
우선순위 큐
- 우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭세하는 자료구조
- heapq()를 사용하는걸 권장!
- 최소 힙 (기본값) 일 때는 '값이 낮은 데이터가 먼저 삭제'되며,
- 최대 힙일 때는 '값이 큰 데이터가 먼저 삭제'된다. (최소 힙에 -를 붙이면 됨)
시간 복잡도 : O(ElogV) (E : 간선의 개수, V : 노드의 개수)
전체 소스코드
import heapq
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)
n,m = map(int, input().split())
graph = [[] for _ in range(n+1)]
distance = [INF] * (n+1)
start = int(input())
for i in range(m):
a,b,c = map(int, input().split())
graph[a].append((b,c))
def dijkstra(start):
q = []
heapq.heappush(q, (0,start))
distance[start] = 0
while q:
dist, now = heapq.heappop(q)
if distance[now] < dist:
continue
for i in graph[now]:
cost = dist + i[1]
if cost < distance[i[0]]:
distance[i[0]] = cost
heapq.heappush(q, (cost, i[0]))
dijkstra(start)
for i in range(1, n+1):
if distance[i] == INF:
print('INFINITY')
else:
print(distance[i])🛸 2. 플로이드 워셜 알고리즘
| 특징 | 다익스트라 알고리즘 | 플로이드 워셜 알고리즘 |
|---|---|---|
| 목적 | 한 지점에서 다른 특정 지점까지의 최단 경로를 구하는 경우 | 모든 지점에서 다른 모든 지점가지의 최단 경로를 모두 구하는 경우 |
| 작동 방식 | 단계마다 최단 거리를 가지는 노드를 하나씩 반복적으로 선택 | 단계마다 '거쳐 가는 노드'를 기준으로 알고리즘을 수행. but 매번 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리를 갖는 노드를 찾을 필요가 없다 |
| 시간 복잡도 | 최대 O() 최소 O(ElogV) | O() |
| 최단거리 저장법 | 1차원 리스트 | 2차원 리스트에 '최단거리' 정보를 저장 |
| 특징 | 그리디 알고리즘 | 다이나믹 프로그래밍 |
--계속--
