구간 합

구간 합은 합 배열을 이용하여 시간 복잡도를 더 줄이기 위해 사용하는 특수한 목적의 알고리즘입니다.
코딩 테스트에서 사용 빈도가 높으니 꼭 알아 두기 바랍니다.

구간 합의 핵심 이론

구간 합 알고리즘을 활용하려면 먼저 합 배열을 구해야합니다. 리스트 A가 있을 때 합 배열 S는 다음과 같이 정의합니다.

합 배열 S 정의
S[i] = A[0] + A[1] + A[2] + ... + A[i-1] + A[i]

• A[0]부터 A[i]까지의 합

합 배열은 기존의 리스트 데이터를 전처리한 배열이라 생각하면 됩니다. 이렇게 합 배열을 미리 구해 놓으면 기존 리스트의 일정 범위의 합을 구하는 시간 복잡도가 O(N)에서 O(1)로 감소합니다.

인덱스 0 1 2 3 4 5
리스트A 15 13 10 7 3 12
합배열S 15 28 38 45 48 60

인덱스	0	1	2	3	4	5
리스트A	15	13	10	7	3	12
합배열S	15	28	38	45	48	60

A[i]부터 A[j]까지의 리스트 합을 합 배열 없이 구하는 경우, 최악의 경우는 i가 0이고 j가 N인 경우로 시간복잡도는 O(N)입니다. 이런 경우 앞에서 알아본 합 배열을 사용하면 O(1)안에 답을 구할 수 있습니다. 합 배열은 다음과 같은 간단한 공식으로 만들 수 있습니다.

합 배열 S를 만드는 공식
S[i] = S[i-1] + A[i]

이렇게 구현된 합 배열을 이용하여 구간 합 역시 쉽게 구할 수 있습니다. i에서 j까지 구간 합을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

구간 합을 구하는 공식