01타일 - 1904번

문제

지원이에게 2진 수열을 가르쳐 주기 위해, 지원이 아버지는 그에게 타일들을 선물해주셨다. 그리고 이 각각의 타일들은 0 또는 1이 쓰여 있는 낱장의 타일들이다.

어느 날 짓궂은 동주가 지원이의 공부를 방해하기 위해 0이 쓰여진 낱장의 타일들을 붙여서 한 쌍으로 이루어진 00 타일들을 만들었다. 결국 현재 1 하나만으로 이루어진 타일 또는 0타일을 두 개 붙인 한 쌍의 00타일들만이 남게 되었다.

그러므로 지원이는 타일로 더 이상 크기가 N인 모든 2진 수열을 만들 수 없게 되었다. 예를 들어, N=1일 때 1만 만들 수 있고, N=2일 때는 00, 11을 만들 수 있다. (01, 10은 만들 수 없게 되었다.) 또한 N=4일 때는 0011, 0000, 1001, 1100, 1111 등 총 5개의 2진 수열을 만들 수 있다.

우리의 목표는 N이 주어졌을 때 지원이가 만들 수 있는 모든 가짓수를 세는 것이다. 단 타일들은 무한히 많은 것으로 가정하자.

입력
첫 번째 줄에 자연수 N이 주어진다. (1 ≤ N ≤ 1,000,000)

출력
첫 번째 줄에 지원이가 만들 수 있는 길이가 N인 모든 2진 수열의 개수를 15746으로 나눈 나머지를 출력한다.

풀이

문제에서 예를 들었듯, 주어진 조건 상 길이가 4인 이진수열을 만드는 방법은 총 5가지. 1과 00 두 가지 타일을 사용해서 만들 수 있는 이진수열은 다음과 같다.
1 1 1 1
1 1 0 0
1 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 0
이 결과에 대해 한 번 쪼개서 생각해보자. 위의 각 결과들을 창출해내기 바로 한 단계 전을 구상해보면 아래와 같을 것이다. 각 조합을 왼쪽에서 오른쪽으로 만들었다고 할 때,
1 1 1 [_]
1 1 [ __ ]
1 0 0 [_]
0 0 1 [_]
0 1 [__]

위를 참고하여 생각했을 때, 우린 아마도 다음과 같은 추론이 가능하다.

길이가 i인 이진수열을 만드는 경우의 수는,

• i번째 자리에 1을 넣는 경우: i-1번째까지의 이진수열에 1을 추가하는 경우의 수
• i번째 자리에 00을 넣는 경우: i-2번째까지의 이진수열에 00을 추가하는 경우의 수
  와 동일하다.

고로 우린 다음의 점화식을 만들 수 있다. d[i] = ( d[i-2] + d[i-1] )

다음의 코드는 정답이다.

import sys
input = sys.stdin.readline
N = int(input())
d = [0]*(N+1)

if N==1:
    print(1)
elif N==2:
    print(2)
else:
    d[1] = 1
    d[2] = 2
    for i in range(3, N+1):
        d[i] = ( d[i-2] + d[i-1] ) % 15746
    print(d[-1])