연속 확률 변수

이상화 교수님의 확률 및 통계 5강 '이산 확률 변수와 연속 확률 변수' 강의를 듣고 간단하게 내용을 정리해보도록 하겠습니다.

연속 확률 변수는 왜 특정 실수값의 확률을 정의할 수 없을까?

0과 1사이의 '모든' 실수값에서 '0.5'를 뽑을 확률을 정의해보자. 0과 1사이에는 무수히 많은 숫자들이 있을 것이고. 그 중에서 0.5라는 숫자를 뽑을 확률을 실질적으로는 '0'일 것이다.

그렇다면 연속 확률 변수는 '확률'을 어떻게 정의해야 할까?

'특정한' 값이 아니라 '아주 작은 구간'에서 정의할 수 있다. $F(x)$에 아주 작은 값을 더한 값을 구한 후($F(x+\Delta x)$) , 이를 단위 구간으로 나누어 보자.

이를 통해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

• 연속 확률 변수에서 특정한 값의 '확률'을 정의할 수는 없지만 '밀도(density)'는 정의할 수 있다(밀도는 단위 길이당 특정 확률값을 표현한 것)

• 밀도는 누적 분포 함수를 '미분' 하면 구할 수 있다. 즉 아래와 같은 식이 성립한다.

  $\begin{aligned} F'(x) &= f(x)\\ F(x) &= \int f(x)dx \end{aligned}$

• $f(x)$는 확률 밀도 함수(probability density function, PDF)라고 한다.

확률 밀도 함수(PDF)가 되기 위해서는 다음의 두 조건을 반드시 만족해야 한다.

(1) $0\leq f(x)$, (그러나 $f(x) \leq1$일 필요는 없다. 확률이 아니라 밀도이기 때문).

(2) $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) =1$

헷갈릴만한 개념들을 정리 해보자.

• PMF의 경우, 특정 확률 변수에 상응하는 값이 '확률'임
• PDF의 경우, 특정 확률 변수에 상응하는 값이 '확률'이 아니라 '밀도'임
• 누적 분포 함수(CDF)는 특정 확률 변수에 해당하는 값이 '확률'임. 이는 PMF의 CDF나 PDF의 CDF 모두에 해당 함