미분 공식을 이해하고 내면화하기 위해 대표적인 미분 공식 증명을 정리해 보겠습니다.
1 f(x)=xn일때, f′(x)=nxn−1임을 증명하라
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limh(x+h)n−xn=h→0limh(x+h−x)((x+h)n−1x0+(x+h)n−2x1+...+(x+h)0xn−1)=h→0lim((x+h)n−1x0+(x+h)n−2x1+...+(x+h)0xn−1)=xn−1x0+xn−2x1+...+x0xn−1=xn−1+xn−1+...+xn−1=nxn−1
참고) an−bn=(a−b)(an−1b0+an−2b1+...+a0bn−1)
2 자연상수 e의 정의
e=limn→∞(1+n1)n=limx→0(1+x)1/n
참고) 마지막항은 x=n1을 이용한 것
3 limx→0xex−1=1임을 증명하라.
x→0limxex−1=t→0limln(1+t)t⇐ex−1=t=t→0limtln(1+t)1=t→0limt1ln(1+t)1=t→0limln(1+t)t11=ln(limt→0(1+t)t1)1=lne1⇐x→0lim(1+x)1/n=1
4 지수함수 f(x)=ex일 때, f′(x)=ex임을 증명하라.
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhex+h−ex=h→0limhex(eh−1)=exh→0limheh−1=ex⇐x→0limxex−1=1
4 지수함수 f(x)=ax일 때, f′(x)=exlna⋅lna임을 증명하라.
다음 수식을 먼저 정의 하겠습니다.
ax=alogeex=(ex)logea⇐alogcb=blogca=exlogea=exlna
위의 수식을 이용하여 증명을 해보겠습니다.
f′(x)=dxdax=dxdexlna=dxdet⇐t=xlna=dtdetdxdt=etdxdt=et⋅lna=exlna⋅lna
5 로그함수 f(x)=lnx 일 때, f′(x)=x1임을 증명하라.
f′(x)=h→0limhf(x+h)−f(x)=h→0limhln(x+h)−lnx=h→0limh1⋅lnxx+h=h→0limln(xx+h)h1=h→0limln(xx+h)hx⋅x1=h→0limx1⋅ln(xx+h)hx=h→0limx1⋅ln(1+xh)hx=x1⋅lnh→0lim(1+xh)hx=x1⋅lnh→0lim(1+xh)hx=x1⋅lne⇐e=x→0lim(1+x)1/x=x1 