2x2 이상의 차원을 갖는 행렬의 행렬식 문제 풀이
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"라플라스 전개" 이용
먼저 행렬의 부호는 다음과 같은 규칙을 따른다.
행렬의 주대각 원소의 부호는 항상 +이고, +사이의 원소 부호는 -이다.
* 라플라스 전개 방식이란?
계산 방법
- 한 행 또는 열을 선택 (무엇을 선택하든 계산결과값은 달라지지 않음)
- 선택한 열 또는 행의 원소에 대하여 각 원소 1개에 대해 원소가 속하는 열과 행을 제외한 나머지 원소의 행렬식 값을 계산
위 A행렬에서 1행을 선택했을 때, 3x3행렬이므로,
(1) A 11에 대하여 1행, 1열을 제외한 원소의 행렬식 계산하고, A 11 원소를 곲함.
(2) A 12에 대하여 1행, 2열을 제외한 원소의 행렬식 계산하고, A 12 원소를 곲함.
(3) A 13에 대하여 1행, 3열을 제외한 원소의 행렬식 계산하고, A 13 원소를 곲함.
(4) (1)~(3)에서 계산한 각 세 값에 대하여 위의 행렬 부호에 대한 규칙에 따라 + , - 부호를 적용하여 값을더한다.
계산 방식
- 행을 선택
- 열을 선택
- 행 또는 열의 배수의 덧셈(뺄셈)결과가 원래 행렬식의 결과와 다르지 않다는 행렬식의 성질 이용 (4x4이상의 행렬에서 쓰임, 실질적인 풀이법)
=> 풀이
아래 두 풀이 방식은 계산결과에 차이가 없다. -> 3
풀이법 1.
풀이법 2.
풀이법 3.
(1) 1행의 2열, 3열 원소를 모두 0으로 만들기 위해, 1열x(-1)의 값을 2열, 3열에 덧셈
(2) 라플라스 전개 이용
두번째, 세번째 결과값은 0이므로 첫번째 원소에 대해서 생성한 행렬식 값만 계산하면 된다.
Ex 1. 3행에 대해 계산할 때, 3행 3열 원소에 대해서만 행렬식 계산
부호 주의 (+) -> + 3
Ex 2. 2행에 대해 계산할 때, 2행 2열 원소에 대해서만 행렬식 계산
부호 주의 (+) -> + 3
Ex 3. 4x4 행렬
Ex 4.
Ex 5. 4x4 행렬
=> 풀이
(1) 4x4행렬이므로, 원소 3개가 0이 되어야 함.
(2) 3번째 열을 이용해 1행 4번째 열 원소를 0으로 만듦.
(3) 4x4 행렬에서 3x3 이 된 행렬에 대해 다시 원소 2개를 0으로 만듦.
Ex 6. 미지수가 포함된 행렬 계산
Ex 7.
Ex 8.
veloger