행렬식의 개념
A의 행렬식 = det A = |A|
Ex 1.
| 2 4 | = 6 - 4 = 2
| 1 3 |
행렬식(determinant) = 행렬의 특성을 하나의 숫자로 표현하는 방법 중 하나.
= 정사각행렬을 스칼라로 변환하는 함수
ex) 행렬식의 절댓값은 해당 행렬이 단위 공간을 얼마나 늘렸는지 혹은 줄였는지를 의미함.
따라서 행렬식의 절댓값이 1이라면 해당 행렬이 단위 공간의 부피와 같고, 행렬식이 0이라면 해당 행렬이 나타내는 부피가 0이라는 뜻임.
행렬식의 성질
1. 하나의 행 또는 열에 공통인수는 행렬식 밖으로 끌어낼 수 있다.
Ex 1.
| 2 4 | =
| 1 3 |
2 | 1 2 | = 2 (3-2) = 1
... | 1 3 |
로 값의 변화가 없다.
Ex 2.
| 2 4 | = =
| 6 8 |
2 x 2 | 1 2 |
.......... | 3 4 | =
2 x 2 x 2 |1 1|
....................|3 2| =
8 (2-3) = -8
2. 두 개의 행 또는 열을 바꾸면 행렬식의 값은 부호만 바뀐다.
Ex 1. 행을 바꿨을 때
| 1 2 | = 4 - 6 = -2
| 3 4 |
| 3 4 | = 6 - 4 = 2
| 1 2 |
Ex 1. 열을 바꿨을 때
| 2 5 | = - | 5 2 |
| 1 3 | ....... | 3 1 |
1 = -(-1)
* 3. 하나의 행 또는 열에 실수를 곱하여 다른 행 또는 열에 더하거나 빼도, 행렬식의 값은 변하지 않는다.
(조건 : 행은 행끼리, 열은 열끼리만 계산 가능함.)
Ex 1. 행계산
| 1 2 | = 4 - 6 = -2 -> 1행에 100배를 한 후 2행에 더하기
| 3 4 |
| 1 2 |
| 103 204 | = 204-206 = -2
Ex 2. 행계산 -> 1행에 -3배를 한 후 2행에 더하기 (2행 1번째 원소를 0으로 만들기)
| 1 2 | = 7 - 6 = 1
| 3 7 |
| 1 2 | = 1 - 0 = 1
| 0 1 |
Ex 3. 열계산 -> 1열에 -1배를 한 후 2열에 더하기
| 1 2 | = 4 - 6 = -2
| 3 4 |
| 1 1 |
| 3 1 | = 1 - 3 = -2
4. 두 개의 행 또는 열이 비례 관계면 행렬식 값은 항상 0이다.
Ex 1. 2행 = 1행 x 2인 비례 관계를 갖는 행렬
| 1 2 | = 4 - 4 = 0
| 2 4 |
-> 성질 3을 적용하여, 1행x(-2)를 2행에 적용하면
| 1 2 | = 0 - 0
| 0 0 |
-> 한 행 또는 열이 모두 0으로 이루어져있으면 행렬식 값은 항상 0이다.
| 1 2 3 | = 0
| 4 5 6 |
| 0 0 0 |
* 5. det(kA) = kn det(A) (단, K ** n은 k의 n제곱일 때, k는 상수, 행렬 A = n x n행렬임)
Ex 1. 2 x 2행렬 A에서 K는 행렬식 A에 2제곱 곱해진다.
A = | a b |
.........| c d |
kA = | ka kb | = k | a b | = K**2 | a b |
............| kc kd | ........| kc kd | = .......| c d |
6. det(AB) = det(A)det(B)
7. |A**n| = |A|**n
8. det(A) = det(At)
9. 역행렬, |A**(-1)| = |A|**(-1) = 1 / |A| )
(A의 역행렬의 행렬식은 행렬식 A의 역수와 같다. 행렬은 숫자가 아니지만 행렬식은 숫자이므로 )
문제 1. ( 0 2 ) X = ( 1 2 )을 만족 할 때, det(X)는 ? ...........( 2 0 ) ........( 2 3 )
=> 풀이
행렬 A, B, C가 존재하고, |AB| = |C|는 |A||B| = |C|를 만족하는 성질을 이용.(6번 성질)
계산하면, -4 x | X | = -1이다. 따라서 det(X) = 1 / 4
문제 2. 행렬 A = ( 1 2 ) 에 대해 det(A**100)의 값은 ? ...................( 3 4 )
=> 풀이
|A**n| = |A|**n이 되는 성질을 이용(7번 성질 이용)
계산하면 |A**100| = |A|**100이므로, |A| = 4-6 = -2
따라서, |A|**100 = (-2)**100 = (2)**100 = det(A**100)
문제 3. A가 3차 정방행렬이고, det(A) = 2일때, det((2A)**2)은?
=> 풀이
행렬 A가 3차 정방행렬이면, 행렬 A의 제곱도 3차 정방행렬이므로 |(2A)**2| = |4 A **2| = 4**3|A**2| = 64*4 = 256
문제 4. A = (aij)3x3, B = (bij)3x3, detA = -1, detB =2일때, det(3(AB))는?
=> 풀이
det(3(AB)) = 3**3 det(AB) = 3**3 det(A) det(B) = 27 (-1) (2) = -54
문제 5. 행렬 A = (a b ..c d)2x2의 행렬식이 12일 때, 다음 설명 중 옳은 것을 모두 고르면? (여기서 a,b,c,d는 모두 실수이다.)
(a) 행렬 A**2의 행렬식은 144이다.
(b) 행렬 B의 행렬식은 24이다.
행렬 B = (2a b-5a)
................ (2c d-5c)
(c) 행렬 C의 행렬식은 -36이다.
행렬 C = (3a -b)
................ (3c -d)
=> 풀이
(a) 행렬 A2의 행렬식 = det(A2) = det(A)2 = (12)**2 = 144
(b) 행렬 B의 행렬식 det(B) = 2 |a b-5a .. c d-5c| 이고, 행렬 A의 1열에 -5배를 한 값을 2열에 더해도 행렬식의 계산결과는 달라지지 않으므로,
det(B) = 2 det(A) = 2 * 12 = 24
(c) det(C) 에서 1열의 공통 인수 3, 2열에 공통인수 -1를 뽑아낼 수 있으므로, det(C) = -3 det (A) = -3 (12) = -36
문제 6.
=> 풀이
-12(-6) + {- 3(+ 6) } = 72 + (-18) = 54
행렬식 계산
소행렬식
n 차 행렬식 에서 i 행과 j 열의 원소를 제외한 나머지로 만들어진 행렬식
여인수
소행렬식에 + , - 부호를 붙인 것
