TIL. Algorithm

김은서·2022년 10월 14일
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알고리즘이란?

알고리즘은 9세기 경 아라비아의 천문학자이자 수학자인 알고리즈미(al-Khowarizmi)의 이름에서 유래되었습니다.
알고리즈미는 십진법에 의해 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 제곱근, 원주율을 구하는 방법을 아랍어로 기록해 놓았는데, 이런 식으로 사칙연산 및 다양한 산술의 해를 구하는 절차를 공식화 해놓은 기록이 후에 알고리즘으로 발전되었습니다.

즉 알고리즘은 어떤 문제를 해결하기 위해서 일련의 절차를 정의하고, 공식화한 형태로 표현한 일종의 문제의 풀이 방법, 해(解)를 의미합니다.
이런 알고리즘은 프로그래밍에서는 input 값을 통해 output 값을 얻기 위한 계산 과정을 의미합니다.
주어진 문제를 해결할 때, 정확하고 효율적으로 결과 값을 얻는 것이 필요하고 그때 바로 이 알고리즘이 사용됩니다.
문제 해결을 위한 단계들을 체계적으로 명시할 수 있는 상황이라면 그것은 알고리즘으로 충분히 풀어낼 수 있다고 볼 수 있습니다.

그렇다면 일련의 절차를 정의하고, 공식화만 시킨다면 전부 알고리즘이라고 볼 수 있을까요?
아닙니다. 어떠한 문제 해법이 알고리즘이라 명시 되려면 일정한 조건들을 반드시 만족해야만 합니다.

여기 일상생활에서 볼 수 있는 상황이 하나 있습니다.

횡단보도 옆에 신호등이 있습니다. 현재는 빨간불이지만 5분 뒤에는 초록불로 바뀔 것입니다.
5분이 지나고, 초록불로 바뀐 신호등은 10초 뒤 ‘30’이라는 숫자와 함께 1초에 한 번씩 점등하기 시작합니다.
총 30번을 점등한 신호등은 이어 빨간불로 바뀝니다.

입력(Input) :
알고리즘은 출력에 필요한 자료를 입력받을 수 있어야 합니다. 이 상황에서는 제일 먼저 빨간불인 신호등이 초록불이 되려면 5분이라는 시간을 입력 받아야 합니다.
하나 더 알아야 할 것은 신호등은 항상 시간을 입력받아야 알고리즘이 동작하지만 꼭 입력을 받지 않아도 되는 알고리즘도 있습니다. (ex. 원주율(pi)의 1조 번째 자리 수를 구하려는 경우 입력은 없지만 출력은 있다.)

출력(Output) :
알고리즘은 실행이 되면 적어도 한 가지 이상의 결과를 반드시 출력해야 합니다.
만약 알고리즘에 출력이 없다면 이 알고리즘은 끝이 났는지, 끝이 나지 않았는지 확인할 길이 없기 때문입니다.
출력은 알고리즘에서 “끝이 났다" 라는 표현이므로 반드시 존재해야 하며, 이는 유한성과도 연관이 있습니다. 이 상황에서 출력은 “초록불로 바뀐다" 입니다.

유한성(Finiteness) :
알고리즘은 유한한 명령어를 수행한 후, 유한한 시간 내에 종료해야 합니다.
이는 알고리즘은 실행된 후에는 반드시 종료되어야 한다는 말과도 같습니다.
알고리즘이 무한히 실행이 된다면 무한히 기다려야 할 것이며, 그것은 출력의 기약이 없는 알고리즘일 것입니다.
신호등이 빨간불인 상태에서 초록불로 변하는 과정에 대한 기약이 없다면 그 신호등은 제대로 된 알고리즘으로 동작하는 것이 아닐 것입니다.

명확성(Definiteness) :
알고리즘의 각 단계는 단순하고 명확해야 하며, 모호해서는 안 됩니다.
예를 들어 ‘신호등이 몇 분 뒤에 켜집니다’ 와 같이 표현한다면, 명확성이 떨어질 뿐더러 모호한 표현이라고 볼 수 있습니다.
‘신호등이 5분 뒤에 켜집니다‘ 와 같이 명확하게 표현을 해야만 합니다.

효율성(Efficiency) :
알고리즘은 가능한 한 효율적이어야 합니다.
모든 과정은 명백하게 실행 가능해야 하며, 실행 가능성이 떨어지는 알고리즘은 효율적이지 못한 알고리즘이라 볼 수 있습니다.
알고리즘은 시간 복잡도와 공간 복잡도를 통해 결정이 되므로, 시간 복잡도와 공간 복잡도가 낮을 수록 효율적인 알고리즘이라 볼 수 있습니다.

알고리즘의 중요성

그렇다면 알고리즘은 어째서 중요할까요?

알고리즘은 프로그래밍 뿐이 아니라 일상생활에서도 다양한 문제를 해결하는 데에 활용할 수 있습니다.
좋은 알고리즘은 절차가 명확하게 표현되어 있고, 효율적이므로 다양한 문제 해결 과정에서 나타나는 불필요한 작업들을 줄여줄 수 있습니다.

그렇지만 알고리즘의 순서가 달라지면 결과 또한 다르게 나타날 수 있다는 것은 주의해야할 점입니다.

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여기 한 사칙연산 문제가 있습니다.
이 문제의 답은 무엇일까요?
이 사칙연산 문제는 한 때 커뮤니티를 뜨겁게 달궜던 문제입니다.
계산을 어떻게 하느냐에 따라 답이 16과 1, 두 개로 나뉘었기 때문입니다.

수식을 계산하는 방식에는 우위가 있으며 그 우선순위는 대괄호, 지수, 나누기, 곱하기, 더하기 및 빼기 순으로 두는 것이 사칙연산의 기본적인 개념입니다.
이 우위는 수식 내에 다양하게 섞여 있을수록 더욱 중요해집니다.

문제가 되는 해당 사칙연산의 알고리즘을 짤 당시 곱셈과 나눗셈, 괄호로 이뤄진 수식을 계산할 때 이런 계산 방식의 우위를 따르면 당연히 괄호 안에 있는 것부터 먼저 연산하도록 알고리즘을 짤 것입니다. 여기서 중요한 것은 그 다음 연산부터입니다.

“괄호와 가까운 연산부터 순서대로 연산한다" 와 “왼쪽부터 순서대로 연산한다" 중에서 어떤 연산 순서 규칙을 선택하느냐에 따라 답이 달라지게 됩니다.
괄호와 가까운 순서부터 연산하게 되면 1이 나오게 되고, 왼쪽부터 순서대로 연산하게 되면 16이 나오게 됩니다.
해당 사칙연산의 답은 괄호가 있을 뿐 단순한 계산식이기 때문에 왼쪽부터 순서대로 계산을 해야 하므로 16이 정답이 됩니다.
그러나 계산 알고리즘을 이와 다른 규칙으로 로직을 짠 다른 계산기인 경우 답이 1로 다르게 나오게 되는 것입니다.

정확하지 않은 알고리즘은 정확하지 않은 해(解)를 내놓게 됩니다.
정확하지 않은 답은 혼란을 주고, 프로그래밍 자체에 큰 문제를 야기할 수 있습니다.
그러므로 알고리즘은 정확하게 짜는 것이 그 무엇보다도 중요합니다.

알고리즘은 어떻게 해야 잘 풀 수 있을까요?

문제를 이해하세요.

  • 대부분의 코딩 테스트에서는 문제의 설명과 입출력예시, 제한사항, 그리고 주의사항 등으로 문제 상황을 제시합니다. 주어진 조건을 토대로 문제가 무엇인지를 이해하는 것부터 시작해야 합니다.

문제를 어떻게 해결할 수 있을지, 전략을 세워야 합니다.

  • 연습장에 전체적인 그림을 그려가면서 페어와 나눠보세요. 전체적인 흐름을 공유할 수 있습니다.
  • 수도코드를 작성하기 전, 인간의 사고로 문제를 해결할 수 있어야 합니다. 연습장이나 온라인 화이트보드를 사용하여 문제에 대해 논의하고, 해결하세요.
  • 코드를 작성하기 전에 페어와 수도코드를 먼저 작성해주세요! 알고리즘 전략은 잘 짜여진 수도코드에서부터 시작합니다!
  • 막혔던 생각이 페어에게 설명을 하면서 해결되는 경우도 있습니다.

문제를 코드로 옮겨 보세요.

  • 페어와 논의한 전략을 코드로 옮겨 보세요!
  • 구현한 코드를 페어와 논의해 보고, 구현한 코드의 최적화를 시도해 보세요!

시간 복잡도와 공간 복잡도

시간 복잡도

문제를 해결하기 위한 알고리즘의 로직을 코드로 구현할 때, 시간 복잡도를 고려한다는 것은 무슨 의미일까요? 한 문장으로 정리하자면 다음과 같습니다.

입력값의 변화에 따라 연산을 실행할 때, 연산 횟수에 비해 시간이 얼마만큼 걸리는가?

앞서 이야기했던 효율적인 알고리즘을 구현한다는 것은 바꾸어 말해 입력값이 커짐에 따라 증가하는 시간의 비율을 최소화한 알고리즘을 구성했다는 이야기입니다.
그리고 이 시간 복잡도는 주로 빅-오 표기법을 사용해 나타냅니다.

Big-O 표기법

시간 복잡도를 표기하는 방법은 다음과 같습니다.

  • Big-O(빅-오)
  • Big-Ω(빅-오메가)
  • Big-θ(빅-세타)

위 세 가지 표기법은 시간 복잡도를 각각 최악, 최선, 중간(평균)의 경우에 대하여 나타내는 방법입니다.
이 중에서 Big-O 표기법이 가장 자주 사용됩니다.
빅오 표기법은 최악의 경우를 고려하므로, 프로그램이 실행되는 과정에서 소요되는 최악의 시간까지 고려할 수 있기 때문입니다.
"최소한 특정 시간 이상이 걸린다" 혹은 "이 정도 시간이 걸린다"를 고려하는 것보다 "이 정도 시간까지 걸릴 수 있다"를 고려해야 그에 맞는 대응이 가능합니다.

결과를 반환하는 데 최선의 경우 1초, 평균적으로 1분, 최악의 경우 1시간이 걸리는 알고리즘을 구현했고, 최선의 경우를 고려한다고 가정하겠습니다.
이 알고리즘을 100번 실행한다면, 최선의 경우 100초가 걸립니다.
만약 실제로 걸린 시간이 1시간을 훌쩍 넘겼다면, 어디에서 문제가 발생한 거지?란 의문이 생길 겁니다.
최선의 경우만 고려하였으니, 어디에서 문제가 발생했는지 알아내기 위해서는 로직의 많은 부분을 파악해야 하므로 문제를 파악하는 데 많은 시간이 필요합니다.

평균값을 기대하는 시간 복잡도를 고려한다면 어떨까요?
알고리즘을 100번 실행할 때 100분의 시간이 소요된다고 생각했는데, 최악의 경우가 몇 개 발생하여 300분이 넘게 걸렸다면 최선의 경우를 고려한 것과 같은 고민을 하게 됩니다.

극단적인 예이지만, 위와 같이 최악의 경우가 발생하지 않기를 바라며 시간을 계산하는 것보다는 최악의 경우도 고려하여 대비하는 것이 바람직합니다.
따라서 다른 표기법보다 Big-O 표기법을 많이 사용합니다. 이어지는 내용에서, Big-O 표기법의 종류에 대해 알아보겠습니다.

O(1)

Big-O 표기법은 입력값의 변화에 따라 연산을 실행할 때, 연산 횟수에 비해 시간이 얼마만큼 걸리는가?를 표기하는 방법입니다.
O(1)는 constant complexity라고 하며, 입력값이 증가하더라도 시간이 늘어나지 않습니다. 다시 말해 입력값의 크기와 관계없이, 즉시 출력값을 얻어낼 수 있다는 의미입니다.
O(1)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘을 살펴보겠습니다.

function O_1_algorithm(arr, index) {
	return arr[index];
}

let arr = [1, 2, 3, 4, 5];
let index = 1;
let result = O_1_algorithm(arr, index);
console.log(result); // 2

// [코드] O(1)의 시간 복잡도를 가지는 알고리즘 예시

위 알고리즘에선 입력값의 크기가 아무리 커져도 즉시 출력값을 얻어낼 수 있습니다. 예를 들어 arr의 길이가 100만이라도, 즉시 해당 index에 접근해 값을 반환할 수 있습니다.

O(n)

O(n)은 linear complexity라고 부르며, 입력값이 증가함에 따라 시간 또한 같은 비율로 증가하는 것을 의미합니다.
예를 들어 입력값이 1일 때 1초의 시간이 걸리고, 입력값을 100배로 증가시켰을 때 1초의 100배인 100초가 걸리는 알고리즘을 구현했다면, 그 알고리즘은 O(n)의 시간 복잡도를 가진다고 할 수 있습니다.
O(n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘을 살펴보겠습니다.

function O_n_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
	// do something for 1 second
	}
}

function another_O_n_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < 2n; i++) {
	// do something for 1 second
	}
}
// [코드] O(n)의 시간 복잡도를 가지는 알고리즘 예시

O_n_algorithm 함수에선 입력값(n)이 1 증가할 때마다 코드의 실행 시간이 1초씩 증가합니다.
즉 입력값이 증가함에 따라 같은 비율로 걸리는 시간이 늘어나고 있습니다.

그렇다면 함수 another_O_n_algorithm 은 어떨까요?
입력값이 1 증가할때마다 코드의 실행 시간이 2초씩 증가합니다.
이것을 보고, "아! 그렇다면 이 알고리즘은 O(2n) 이라고 표현하겠구나!" 라고 생각할 수 있습니다.

그러나, 사실 이 알고리즘 또한 Big-O 표기법으로는 O(n)으로 표기합니다.
입력값이 커지면 커질수록 계수(n 앞에 있는 수)의 의미(영향력)가 점점 퇴색되기 때문에, 같은 비율로 증가하고 있다면 2배가 아닌 5배, 10배로 증가하더라도 O(n)으로 표기합니다.

O(log n)

O(log n)은 logarithmic complexity라고 부르며 Big-O표기법중 O(1) 다음으로 빠른 시간 복잡도를 가집니다.
자료구조에서 배웠던 BST(Binary Search Tree)를 기억하시나요?
BST에선 원하는 값을 탐색할 때, 노드를 이동할 때마다 경우의 수가 절반으로 줄어듭니다.
이해하기 쉬운 게임으로 비유해 보자면 up & down을 예로 들 수 있습니다.

  1. 1~100 중 하나의 숫자를 플레이어1이 고른다 (30을 골랐다고 가정합니다).
  2. 50(가운데) 숫자를 제시하면 50보다 작으므로 down을 외친다.
  3. 1~50중의 하나의 숫자이므로 또다시 경우의 수를 절반으로 줄이기 위해 25를 제시한다.
  4. 25보다 크므로 up을 외친다.
  5. 경우의 수를 계속 절반으로 줄여나가며 정답을 찾는다.

매번 숫자를 제시할 때마다 경우의 수가 절반이 줄어들기 때문에 최악의 경우에도 7번이면 원하는 숫자를 찾아낼 수 있게 됩니다.
BST의 값 탐색도 같은 로직으로 O(log n)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘(탐색기법)입니다.

O(n2)

O(n2)은 quadratic complexity라고 부르며, 입력값이 증가함에 따라 시간이 n의 제곱수의 비율로 증가하는 것을 의미합니다.

예를 들어 입력값이 1일 경우 1초가 걸리던 알고리즘에 5라는 값을 주었더니 25초가 걸리게 된다면, 이 알고리즘의 시간 복잡도는 O(n2)라고 표현합니다.
O(n2)의 시간 복잡도를 가진 알고리즘을 살펴보겠습니다.

function O_quadratic_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		for (let j = 0; j < n; j++) {
		// do something for 1 second
		}
	}
}

function another_O_quadratic_algorithm(n) {
	for (let i = 0; i < n; i++) {
		for (let j = 0; j < n; j++) {
			for (let k = 0; k < n; k++) {
			// do something for 1 second
			}
		}
	}
}

// [코드] O(n2)의 시간 복잡도를 가지는 알고리즘 예시

2n, 5n 을 모두 O(n)이라고 표현하는 것처럼, n3과 n5 도 모두 O(n2)로 표기합니다. n이 커지면 커질수록 지수가 주는 영향력이 점점 퇴색되기 때문에 이렇게 표기합니다.

O(2n)

O(2n)은 exponential complexity라고 부르며 Big-O 표기법 중 가장 느린 시간 복잡도를 가집니다.
종이를 42번 접으면 그 두께가 지구에서 달까지의 거리보다 커진다는 이야기를 들어보신 적 있으신가요?
고작 42번 만에 얇은 종이가 그만한 두께를 가질 수 있는 것은, 매번 접힐 때마다 두께가 2배로 늘어나기 때문입니다.
구현한 알고리즘의 시간 복잡도가 O(2n)이라면 다른 접근 방식을 고민해 보는 것이 좋습니다.

function fibonacci(n) {
	if (n <= 1) {
		return 1;
	}
	return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

// [코드] O(2n)의 시간 복잡도를 가지는 알고리즘 예시

재귀로 구현하는 피보나치 수열은 O(2n)의 시간 복잡도를 가진 대표적인 알고리즘입니다.
브라우저 개발자 창에서 n을 40으로 두어도 수초가 걸리는 것을 확인할 수 있으며, n이 100 이상이면 평생 결과를 반환받지 못할 수도 있습니다.

데이터 크기에 따른 시간 복잡도

일반적으로 코딩 테스트 문제를 풀 때에는 정확한 값을 제한된 시간 내에 반환하는 프로그램을 작성해야 합니다. 그래서 컴파일러 혹은 컴퓨터의 사양에 따라 차이는 있겠지만, 시간제한과 주어진 데이터 크기 제한에 따른 시간 복잡도를 어림잡아 예측해 보는 것은 중요합니다.

예를 들어 입력으로 주어지는 데이터에는 n만큼의 크기를 가지는 데이터가 있고, n이 1,000,000보다 작은 수일 때 O(n) 혹은 O(nlogn)의 시간 복잡도를 가지도록 예측하여 프로그램을 작성할 수 있습니다. 여기서 n²의 시간 복잡도는 예측할 수가 없기 때문입니다. n²의 시간 복잡도를 예측할 수 없는 이유는 실제 수를 대입해 계산해보면 유추할 수 있습니다. 1,000,000²은 즉시 처리하기에 무리가 있는 숫자입니다. (1,000,000 * 1,000,000 = 1,000,000,000,000(조)) 그렇기 때문에 시간 복잡도를 줄이려고 노력해야 합니다.

그러나 만약 n ≤ 500 으로 입력이 제한된 경우에는 O(n³)의 시간 복잡도를 가질 수 있다고 예측할 수 있습니다. 예측한 대로 O(n³)의 시간 복잡도를 가지는 프로그램을 작성한다면 문제를 금방 풀 수 있다면, 이때는 굳이 시간 복잡도를 O(log n)까지 줄이기 위해 끙끙댈 필요는 없습니다.

즉, 입력 데이터가 클 때는 O(n) 혹은 O(log n)의 시간 복잡도를 만족할 수 있도록 예측해서 문제를 풀어야 합니다. 그러나 주어진 데이터가 작을 때는 시간 복잡도가 크더라도 문제를 풀어내는 것에 집중하세요.

대략적인 데이터 크기에 따른 시간 복잡도는 다음과 같습니다.

공간 복잡도(Space Complexity)

공간 복잡도는 알고리즘이 수행되는 데에 필요한 메모리의 총량을 의미합니다.
즉 프로그램이 필요로 하는 메모리 공간을 산출하는 것을 의미합니다.

프로그램이 요구하는 공간은 고정적인 공간과 함께 가변적인 공간을 함께 요구합니다.
여기서 집중해야 할 부분은 가변적인 공간입니다.
왜냐하면 고정적인 공간은 처리할 데이터의 양에 무관하게 항상 요구되는 공간으로서, 프로그램의 성능에 큰 영향을 주지 않기 때문입니다.
그러나 가변적인 공간은 처리할 데이터의 양에 따라 다르게 요구되는 공간으로서 프로그램의 성능에 큰 영향을 줍니다.

이런 공간 복잡도 계산은 시간 복잡도 계산과 비슷하게 빅 오 (Big-O) 표기법으로 표현합니다.
아래의 가장 간단한 공간복잡도 예시를 보겠습니다.

공간 복잡도 예시

function factorial(n) {
	if(n === 1) {
		return n;
	}
	return n*factorial(n-1);
}

함수 factorial은 재귀함수로 구현되었습니다.
변수 n에 따라 변수 n이 n개가 만들어지게 되며, factorial 함수를 재귀함수로 1까지 호출할 경우 n부터 1까지 스택에 쌓이게 됩니다.
따라서 해당 함수의 공간 복잡도는 O(n)이라 볼 수 있습니다.

공간 복잡도는 얼마나 중요한가요?

보통 때의 공간 복잡도는 시간 복잡도보다 중요성이 떨어집니다.
왜냐하면 시간이 적으면서 메모리까지 지수적으로 증가하는 경우는 거의 없으며 시간 내에 발생하는 메모리 문제들은 보통 알고리즘을 구현할 때에 발생하는 문제이기 때문입니다.

보통 시간 복잡도에 맞다면 공간 복잡도도 얼추 통과하기 때문에 알고리즘 구현 시 공간 복잡도에 실패했다면, 보통은 변수를 설정할 때 쓸데없는 공간을 많이 차지하도록 설정했을 경우가 많을 것이니 그것부터 확인해야 합니다.

그러나 때에 따라 공간 복잡도를 중요하게 보는 경우가 있는데,
동적 계획법(Dynamic Programming)과 같은 알고리즘이나 하드웨어 환경이 매우 한정되어 있는 경우가 바로 그 경우입니다.
동적 계획법은 알고리즘 자체가 구현 시 메모리를 많이 요구하기 때문에 입력 값의 범위가 넓어지면 사용하지 못하는 경우도 많고, 하드웨어 환경이 매우 한정되어 있는 경우(ex. 임베디드, 펌웨어 등)라면 가용 메모리가 제한되어 있기 때문입니다.

Algorithm의 유형

Greedy Algorithm

Greedy는 "탐욕스러운, 욕심 많은" 이란 뜻입니다.
Greedy Algorithm(탐욕 알고리즘)은 말 그대로 선택의 순간마다 당장 눈앞에 보이는 최적의 상황만을 쫓아 최종적인 해답에 도달하는 방법입니다.
탐욕 알고리즘으로 문제를 해결하는 방법은 다음과 같이 단계적으로 구분할 수 있습니다.

Greedy Algorithm 문제 해결 단계

  1. 선택 절차(Selection Procedure): 현재 상태에서의 최적의 해답을 선택합니다.
  2. 적절성 검사(Feasibility Check): 선택된 해가 문제의 조건을 만족하는지 검사합니다.
  3. 해답 검사(Solution Check): 원래의 문제가 해결되었는지 검사하고, 해결되지 않았다면 선택 절차로 돌아가 위의 과정을 반복합니다.

Greedy Algorithm 적용 예시

첫번째 예시.

김코딩은 오늘도 편의점에서 열심히 아르바이트하고 있습니다. 손님으로 온 박해커는 과자와 음료를 하나씩 집어 들었고, 물건 가격은 총 4,040원이 나왔습니다. 박해커는 계산을 하기 위해 5,000원을 내밀며, 거스름돈은 동전의 개수를 최소한으로 하여 거슬러 달라고 하였습니다.

이때 김코딩은 어떻게 거슬러 주어야 할까요? 탐욕 알고리즘으로 동전의 개수를 헤아리는 일은, 우리가 일반적으로 거스름돈으로 동전을 선택하는 방법과 동일합니다. 거스름돈 960원을 채우기 위해서 먼저, 500원짜리 동전을 한 개 선택합니다. 그다음은 100원짜리 동전을 네 개 선택하고, 그다음엔 50원짜리 동전과 10원짜리 동전을 각각 하나씩 선택할 겁니다. 김코딩의 입장에 탐욕 알고리즘의 문제 해결 과정을 적용하면 다음과 같이 문제를 단계적으로 구분할 수 있습니다.

  1. 선택 절차 : 거스름돈의 동전 개수를 줄이기 위해 현재 가장 가치가 높은 동전을 우선 선택합니다.
  2. 적절성 검사 : 1번 과정을 통해 선택된 동전들의 합이 거슬러 줄 금액을 초과하는지 검사합니다. 초과하면 가장 마지막에 선택한 동전을 삭제하고, 1번으로 돌아가 한 단계 작은 동전을 선택합니다.
  3. 해답 검사 : 선택된 동전들의 합이 거슬러 줄 금액과 일치하는지 검사합니다. 액수가 부족하면 1번 과정부터 다시 반복합니다.

이 과정을 통해 얻은 문제에 대한 해답은 다음과 같습니다.

  • 가장 가치가 높은 동전인 500원 1개를 먼저 거슬러 주고 잔액을 확인한 뒤, 이후 100원 4개, 50원 1개, 10원 1개의 순서대로 거슬러 줍니다.

두번째 예시.

🥖$3 40g | 🍞$1.5 25g | 🥯$2.5 5g | 🥐 $2 20g
👜 LIMIT 35g

장발장이 빵 가게에서 빵을 훔치려고 합니다. 장발장의 가방은 35g까지의 빵만 담을 수 있고, 빵은 가격이 전부 다르며, 4 개의 종류가 각 1 개씩 있습니다. 빵은 쪼개어 담을 수 있습니다. 장발장은 최대한 가격이 많이 나가는 빵으로만 채우고 싶습니다.

장발장이 탐욕 알고리즘을 사용한다면 문제는 다음과 같이 간단해집니다.

  1. 가방에 넣을 수 있는 물건 중 무게 대비 가장 비싼 물건을 넣습니다.
  2. 그다음으로 넣을 수 있는 물건 중 무게 대비 가장 비싼 물건을 넣습니다.
  3. 만약, 가방에 다 들어가지 않는다면 쪼개어 넣습니다.

달러당 부피가 가장 작은 빵(무게 대비 가장 비싼 물건)부터 담아야 합니다.

  1. $1당 2g인 🥯 3번 빵(5g) 먼저 가방에 담을 수 있습니다: [남은 가방의 무게: 30g]
  2. $1당 10g인 🥐 4번 빵(20g)을 다음으로 담을 수 있습니다: [남은 가방의 무게: 10g]
  3. $1당 13.3g인 🥖1번 빵(40g)을 다음으로 담을 수 있습니다.
    a. 그러나, 40g을 온전히 못 채우기 때문에 쪼개어, 10g만 넣습니다: [남은 가방의 무게: 0g]

= $2.5 + $2 + $0.75 ⇒ 장발장은 최대 $5.25어치의 빵을 훔칠 수 있습니다.

탐욕 알고리즘은 문제를 해결하는 과정에서 매 순간, 최적이라 생각되는 해답(locally optimal solution)을 찾으며, 이를 토대로 최종 문제의 해답(globally optimal solution)에 도달하는 문제 해결 방식입니다.

하지만, 만약 “빵을 쪼갤 수 없는 상황”이라면 마시멜로 실험 결과처럼 Greedy는 최적의 결과를 보장할 수 없습니다. 무게 대비 가장 비싼 물건을 넣는다는 조건을 두고 현재에 최선을 다하게 되면 빈 자리 5g이 남게 되고 결과를 도출하게 되지만, 빈 자리 5g을 채워 더 큰 최대값을 만들 수 있는 최선의 상황이 있을 수도 있기 때문입니다.

마시멜로 실험이란?
지금 마시멜로를 받겠다고 말하면 1개를 받을 수 있지만, 1분을 기다렸다가 받는다면 2개를 받을 수 있다.
greedy는 "현재"에 최선인 선택을 하기 때문에 마시멜로를 당장 받아내어 1개를 받게 되지만,
전체적으로 보게 되면 1분 뒤에 받는 2개가 최적의 선택이 된다.

따라서, 두 가지의 조건을 만족하는 "특정한 상황" 이 아니면 탐욕 알고리즘은 최적의 해를 보장하지 못합니다.
탐욕 알고리즘을 적용하려면 해결하려는 문제가 다음의 2가지 조건을 성립하여야 합니다.

탐욕 알고리즘의 특징

  • 탐욕적 선택 속성(Greedy Choice Property) : 앞의 선택이 이후의 선택에 영향을 주지 않습니다.
  • 최적 부분 구조(Optimal Substructure) : 문제에 대한 최종 해결 방법은 부분 문제에 대한 최적 문제 해결 방법으로 구성됩니다.

탐욕 알고리즘은 항상 최적의 결과를 도출하는 것은 아니지만, 어느 정도 최적에 근사한 값을 빠르게 도출할 수 있는 장점이 있습니다.
이 장점으로 인해 탐욕 알고리즘은 근사 알고리즘으로 사용할 수 있습니다.

Algorithm 구현

Algorithm 구현의 기초

알고리즘 문제를 푼다는 것은, 내가 생각한 문제 해결 과정을 컴퓨팅 사고로 변환하여 코드로 구현한다는 것과 같고, 각 유형은 원하는 의도가 분명하게 있고, 그것을 해결하는 것이 목표라고 했습니다.

  • 데이터를 정렬할 수 있는가?
  • 데이터를 효율적으로 탐색할 수 있는가?
  • 데이터를 조합할 수 있는가? ...etc

이렇게 카테고리를 분류한다고 해도 내가 생각한 로직을 '코드로 구현'한다는 건 전부 공통적인 속성입니다. 이러한 문제 해결을 코드로 풀어낼 때, 정확하고 빠를 수록 구현 능력이 좋다고 말합니다. 구현 능력이 좋은 개발자를 선발할 의도로 구현 능력을 직접 평가하기도 합니다. '정해진 시간 안에 빠르게 문제를 해결하는 능력'을 보기 위함입니다. 머리로 이해하고 있어도 코드로 작성하지 않는다(혹은 시간 부족으로 못한다)면 정답이 될 수 없기 때문입니다. 본인이 선택한 프로그래밍 언어의 문법을 정확히 알고 있어야 하며, 문제의 조건에 전부 부합하는 코드를 실수 없이 빠르게 작성하는 것을 목표로 두는 것을 구현 문제, 구현 유형이라고 통칭할 수 있습니다.

보통 이러한 문제들은 구현하는 것 자체를 굉장히 까다롭게 만듭니다. 지문을 매우 길게 작성하거나, 까다로운 조건이나 상황을 붙인다거나, 로직은 쉽지만 구현하려는 코드가 굉장히 길어지게 되는 문제들이 대다수입니다. 그렇기 때문에 깊은 집중력과 끈기가 필요합니다.

구현 능력을 보는 대표적인 사례에는 완전 탐색(brute force)과 시뮬레이션(simulation)이 있습니다. 완전 탐색이란 가능한 모든 경우의 수를 전부 확인하여 문제를 푸는 방식을 뜻하고, 시뮬레이션은 문제에서 요구하는 복잡한 구현 요구 사항을 하나도 빠트리지 않고 코드로 옮겨, 마치 시뮬레이션을 하는 것과 동일한 모습을 그립니다.

완전 탐색

모든 문제는 완전 탐색으로 풀 수 있습니다.
이 방법은 굉장히 단순하고 무식하지만 "답이 무조건 있다"는 강력함이 있습니다.

예를 들어, 양의 정수 1부터 100까지의 임의의 요소가 오름차순으로 하나씩 담긴 배열 중, 원하는 값 N을 찾기 위해서는 배열의 첫 요소부터 마지막 요소까지 전부 확인을 한다면 최대 100 번의 탐색 끝에 원하는 값을 찾을 수 있습니다.

그렇지만, 문제 해결을 할 때엔 기본적으로 두 가지 규칙이 붙습니다.

  • 첫 번째, 문제를 해결할 수 있는가?
  • 두번째, 효율적으로 동작하는가?

완전 탐색은 첫 번째 규칙을 만족시킬 수 있는 강력한 무기이지만,
두 번째 규칙은 만족할 수 없는 경우가 있습니다.

양의 정수 1부터 100까지의 임의의 요소가 오름차순으로 하나씩 담긴 배열 중, 원하는 값 N을 찾으시오.
단, 시간 복잡도가 O(N)보다 낮아야 합니다.

이러한 문제가 나왔을 때, 최악의 경우 100 번을 시도해야 하는 완전 탐색은 두 번째 규칙을 만족할 수 없습니다.
배열을 작은 수에서 큰 수, 혹은 그 반대로 정렬한 후 이분 탐색을 사용하는 방법 등 다른 알고리즘을 사용해야 합니다.
그렇기 때문에, 완전 탐색은 문제를 풀 수 있는 가능한 모든 방법을 고려한 후 효율적으로 동작하는 알고리즘이 완전 탐색 밖에 없다고 판단될 때 적용할 수 있습니다.

완전 탐색은 단순히 모든 경우의 수를 탐색하는 모든 경우를 통칭합니다.
완전히 탐색하는 방법에는 Brute Force(조건/반복을 사용하여 해결), 재귀, 순열, DFS/BFS 등 여러 가지가 있습니다.
우리는 그중, Brute Force(무차별 대입)에 대해 예시를 들어보겠습니다.

Brute Force 예시

우리 집에는 세 명의 아이들이 있습니다. 아이들의 식성은 까다로워, 먹기 싫은 음식과 좋아하는 음식을 철저하게 구분합니다. 먹기 싫은 음식이 식탁에 올라왔을 땐 음식 냄새가 난다며 그 주변의 음식까지 전부 먹지 않고, 좋아하는 음식이 올라왔을 땐 해당 음식을 먹어야 합니다. 세 아이의 식성은 이렇습니다.

  • 첫째: (싫어하는 음식 - 미역국, 카레) (좋아하는 음식 - 소고기, 된장국, 사과)
  • 둘째: (싫어하는 음식 - 참치, 카레) (좋아하는 음식 - 미역국, 된장국, 바나나)
  • 셋째: (싫어하는 음식 - 소고기) (좋아하는 음식 - 돼지고기, 된장국, 참치)
    100 개의 반찬이 일렬로 랜덤하게 담긴 상이 차려지고, 한 명씩 전부 먹을 수 있다고 할 때, 가장 많이 먹게 되는 아이와 가장 적게 먹게 되는 아이는 누구일까요? (단, 그 주변의 음식은 반찬의 앞, 뒤로 한정합니다.)

이 문제는 단순히 100 개의 반찬을 첫째, 둘째, 셋째의 식성에 맞게 하나씩 대입하여 풀 수 있습니다.

for(let i = 0; i < 100; i++) {
  if(첫째 식성) {
    if(싫어하는 음식이 앞뒤로 있는가) {
      그냥 넘어가자;
    }
    좋아하는 음식 카운트;
  }
  if(둘째 식성) {
    if(싫어하는 음식이 앞뒤로 있는가) {
      그냥 넘어가자;
    }
    좋아하는 음식 카운트;
  }
  if(셋째 식성) {
    if(싫어하는 음식이 앞뒤로 있는가) {
      그냥 넘어가자;
    }
    좋아하는 음식 카운트;
  }
}

return 많이 먹은 아이;

각각 몇 가지 음식을 얼마나 먹을 수 있는지 각각 계산한 후, 제일 많이 먹는 아이와 제일 적게 먹는 아이를 파악할 수 있습니다. 문제를 풀 때, 반복문이 아닌 배열을 전부 순회하는 메서드를 사용한다거나 간결한 코드를 위한 문법을 사용한다고 하더라도 배열을 전부 탐색하여 세 명의 값을 도출한다는 것엔 변함이 없습니다.

시뮬레이션

시뮬레이션은 모든 과정과 조건이 제시되어, 그 과정을 거친 결과가 무엇인지 확인하는 유형입니다.
보통 문제에서 설명해 준 로직 그대로 코드로 작성하면 되어서 문제 해결을 떠올리는 것 자체는 쉬울 수 있으나 길고 자세하여 코드로 옮기는 작업이 까다로울 수 있습니다.

시뮬레이션 예시

시뮬레이션에 관련된 예시를 하나 살펴보겠습니다.

무엇을 위한 조직인지는 모르겠지만, 비밀스러운 비밀 조직 '시크릿 에이전시'는 소통의 흔적을 남기지 않기 위해 3 일에 한 번씩 사라지는 메신저 앱을 사용했습니다. 그러나 내부 스파이의 대화 유출로 인해 대화를 할 때 조건을 여러 개 붙이기로 했습니다. 해당 조건은 이렇습니다.

  • 캐릭터는 아이디, 닉네임, 소속이 영문으로 담긴 배열로 구분합니다.
  • 소속은 'true', 'false', 'null' 중 하나입니다.
  • 소속이 셋 중 하나가 아니라면 아이디, 닉네임, 소속, 대화 내용의 문자열을 전부 X로 바꿉니다.
  • 아이디와 닉네임은, 길이를 2진수로 바꾼 뒤, 바뀐 숫자를 더합니다.
  • 캐릭터와 대화 내용을 구분할 땐 공백:공백으로 구분합니다: ['Blue', 'Green', 'null'] : - hello.
  • 띄어쓰기 포함, 대화 내용이 10 글자가 넘을 때, 내용에 .,-+ 이 있다면 삭제합니다.
  • 띄어쓰기 포함, 대화 내용이 10 글자가 넘지 않을 때, 내용에 .,-+@#$%^&*?! 이 있다면 삭제합니다.
  • 띄어쓰기를 기준으로 문자열을 반전합니다: 'abc' -> 'cba'
  • 띄어쓰기를 기준으로 소문자와 대문자를 반전합니다: 'Abc' -> 'aBC'

시크릿 에이전시의 바뀌기 전 대화를 받아, 해당 조건들을 전부 수렴하여 수정한 대화를 객체에 키와 값으로 담아 반환하세요. 같은 캐릭터가 두 번 말했다면, 공백을 한 칸 둔 채로 대화 내용에 추가되어야 합니다. 대화는 문자열로 제공되며, 하이픈- 으로 구분됩니다.
문자열은 전부 싱글 쿼터로 제공되며, 전체를 감싸는 문자열은 더블 쿼터로 제공됩니다.
예: "['Blue', 'Green', 'null'] : 'hello. im G.' - ['Black', 'red', 'true']: '? what? who are you?'"

문제는 대화 내용이 담긴 문자열을 입력받아, 문자열을 파싱하여 재구성을 하려고 합니다.

예시를 이용하여 순차적으로 작성해 봅시다.

  1. "['Blue', 'Green', 'null'] : 'hello. im G.' - ['Black', 'red', 'true']: '? what? who are you?'" 입력값으로 받은 문자열을 각 캐릭터와 대화에 맞게 문자열로 파싱을 하고, 파싱한 문자열을 상대로 캐릭터와 대화를 구분합니다.
  • 첫 번째 파싱은 - 을 기준으로 ['Blue', 'Green', 'null'] : 'hello. im G.', ['Black', 'red', 'true']: '? what? who are you?' 두 부분으로 나눕니다.
  • 두 번째 파싱은 : 을 기준으로 \['Blue', 'Green', 'null'\] 배열과 'hello. im G.' 문자열로 나눕니다.
  1. 배열과 문자열을 사용해, 조건에 맞게 변형합니다.
  • 소속이 셋 중 하나인지 판별합니다.
  • ['Blue', 'Green', 'null'] 아이디와 닉네임의 길이를 2진수로 바꾼 뒤, 숫자를 더합니다: [1, 2, 'null']
  • 'hello. im G.' 10 글자가 넘기 때문에, .,-+@#$%^&* 를 삭제합니다: 'hello im G'
  • 'hello im G' 띄어쓰기를 기준으로 문자열을 반전합니다: 'olleh mi G'
  • 'olleh mi G' 소문자와 대문자를 반전합니다: 'OLLEH MI g'
  1. 변형한 배열과 문자열을 키와 값으로 받아 객체에 넣습니다.
  • { "[1, 2, 'null']": 'OLLEH MI g' }

이렇듯, 문제에 대한 이해를 바탕으로 제시하는 조건을 하나도 빠짐없이 처리해야 정답을 받을 수 있습니다. 하나라도 놓친다면 통과할 수 없게 되고, 길어진 코드 때문에 헷갈릴 수도 있으니 주의해야 합니다.

Dynamic Programming

Dynamic Programming(DP, 동적 계획법)은 탐욕 알고리즘(Greedy)과 함께 언급하는 알고리즘으로, 줄임말로 DP 라고 하는 이 알고리즘은, 탐욕 알고리즘과 같이 작은 문제에서 출발한다는 점은 같습니다.
그러나, 탐욕 알고리즘이 매 순간 최적의 선택을 찾는 방식이라면, DP는 모든 경우의 수를 조합해 최적의 해법을 찾습니다.

즉, 주어진 문제를 여러 개의 (작은) 하위 문제로 나누어 풀고, 하위 문제들의 해결 방법을 결합하여 최종 문제를 해결합니다. 하위 문제를 계산한 뒤 그 해결책을 저장하고, 나중에 동일한 하위 문제를 만날 경우 저장된 해결책을 적용해 계산 횟수를 줄입니다. 다시 말해, 하나의 문제는 단 한 번만 풀도록 하는 알고리즘이 바로 이 다이내믹 프로그래밍입니다.

다이내믹 프로그래밍은 다음 두 가지 가정이 만족하는 조건에서 사용할 수 있습니다.

Overlapping Sub-problems :
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있고, 이 작은 문제가 중복해서 발견된다.

Optimal Substructure :
작은 문제에서 구한 정답은 그것을 포함하는 큰 문제에서도 같다. 즉, 작은 문제에서 구한 정답을 큰 문제에서도 사용할 수 있다.

Overlapping Sub-problems

큰 문제로부터 나누어진 작은 문제는 큰 문제를 해결할 때 여러 번 반복해서 사용될 수 있어야 합니다.

이 가정의 대표적인 예시로 피보나치 수열을 들 수 있습니다.

피보나치 수열은 첫째와 둘째 항이 1이며, 그 뒤의 모든 항은 바로 앞 두 항의 합과 같은 수열입니다.

function fib(n) {
	if(n <= 2) {
		return 1;
	};
	return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}
// 1, 1, 2, 3, 5, 8...

//[코드] 재귀함수로 구현한 피보나치 수열

이 함수의 계산 과정을 그림으로 살펴보면, 다음과 같습니다.

그림에서 본 것을 토대로, 7번째 피보나치 수 fib(7) 를 구하는 과정은 다음과 같습니다.

fib(7) = fib(6) + fib(5)
fib(7) = (fib(5) + fib(4)) + fib(5) // fib(6) = fib(5) + fib(4)
fib(7) = ((fib(4) + fib(3)) + fib(4)) + (fib(4) + fib(3)) // fib(5) = fib(4) + fib(3)
...

//[코드] 피보나치 수열 예시

피보나치 수열은 위 예시처럼 동일한 계산을 반복적으로 수행해야 합니다.

fib(5) 는 두 번, fib(4) 는 세 번, fib(3) 은 다섯 번의 동일한 계산을 반복합니다.

이렇게, 작은 문제의 결과를 큰 문제를 해결하기 위해 여러 번 반복하여 사용할 수 있을 때, 부분 문제의 반복(Overlapping Sub-problems)이라는 조건을 만족합니다.

그러나 이 조건을 만족하는지 확인하기 전에, 한 가지 주의해야 할 점이 있습니다.
주어진 문제를 단순히 반복 계산하여 해결하는 것이 아니라, 작은 문제의 결과가 큰 문제를 해결하는 데에 여러 번 사용될 수 있어야 합니다.

Optimal Substructure

이 조건에서 말하는 정답은 최적의 해결 방법(Optimal solution)을 의미합니다.
주어진 문제에 대한 최적의 해법을 구할 때, 주어진 문제의 작은 문제들의 최적의 해법(Optimal solution of Sub-problems)을 찾아야 합니다.
그리고 작은 문제들의 최적의 해법을 결합하면, 결국 전체 문제의 최적의 해법(Optimal solution)을 구할 수 있습니다.

이 가정의 대표적인 예시로 최단 경로를 찾는 문제를 들 수 있습니다.

A에서 D로 가는 최단 경로를 찾아야 합니다. 다음과 같이 각 지점이 있고, 한 지점에서 다른 지점으로 갈 수 있는 경로와 해당 경로의 거리는 다음과 같습니다.

A → D로 가는 최단 경로 : A → B → C → D

A → C로 가는 최단 경로 : A → B → C (A → B → E → C 가 아닙니다.)

A → B로 가는 최단 경로 : A → B

정리해보면 A에서 D로 가는 최단 경로는 그것의 작은 문제인 A에서 C로 가는 최단 경로, 그리고 한 번 더 작은 문제인 A에서 B로 가는 최단 경로의 파악할 수 있습니다. 이렇게 Dynamic Programming을 적용하기 위해서는, 작은 문제의 최적 해법을 결합하여 최종 문제의 최적 해법을 구할 수 있어야 합니다.

Algorithm의 유형 예제

Greedy Algorithm - 거스름돈

타로는 자주 JOI 잡화접에서 물건을 산다.
JOI 잡화점에는 잔돈으로 500엔, 100엔, 50엔, 10엔, 5엔, 1엔이 충분히 있고,
언제나 거스름돈 개수가 가장 적게 잔돈을 준다.
타로가 JOI 잡화점에서 물건을 사고 카운터에서 1000엔 지폐를 한 장 냈을 때,
받을 잔돈에 포함된 잔돈의 개수를 구하는 프로그램을 작성하시오.

JOI 잡화점에는 잔돈으로 500엔, 100엔, 50엔, 10엔, 5엔, 1엔이 충분히 있고, 언제나 거스름돈 개수가 가장 적게 잔돈을 준다고 되어 있습니다.
즉 언제나 거스름돈을 적게 주는 알고리즘을 짜야만 합니다.

예제 1
입력 : 380 / 출력 : 4

예제 2
입력 : 1 / 출력 : 15

380엔을 타로가 지불을 해야 한다면 타로가 받아야 할 거스름돈은 620엔입니다.
그렇다면 500엔 1개, 100엔 1개, 10엔 2개로 총 4개의 동전을 거슬러 받는 것이 가장 적게 잔돈을 거슬러 받는 방법일 것입니다.
가장 적게 거슬러 받기 위한 로직을 작성해보도록 하겠습니다.

function keepTheChange(input) {
	
	//1000엔짜리 지폐를 냈다는 가정이 있고, 입력 값으로는 지불해야 할 금액이 들어옵니다.
	let change = Number(1000 - input);
	//카운트하기 위해 변수 count에 0을 할당합니다. 
	let count = 0;
	
	//입력 값에 배열이 들어오지 않으므로 직접 배열을 만들어줍니다.
	const joiCoins = [500, 100, 50, 10, 5, 1];

	//만든 배열의 개수만큼만 돌려줘야 합니다.
	for(let i = 0; i < joiCoins.length; i++){
		//거스름돈이 0원이 되면 for문을 멈춥니다.
		if(change === 0) break;
		
		//거스름돈과 잔돈을 나눈 몫을 카운팅합니다.(쓰인 잔돈의 개수 카운팅)
		count += Math.floor(Number(change/joiCoins[i]));
		//거스름돈을 잔돈으로 나눈 나머지를 재할당합니다.
		change %= joiCoins[i];

	}
	
	//count를 리턴합니다.
	return count;
}

함수 keepTheChange는 항상 1000엔짜리 지폐를 냈다는 가정이 있고, 입력 값으로는 지불해야 할 금액이 들어오기 때문에 변수 change에 1000 - input을 하여 잔돈을 먼저 계산을 해줍니다.

JOI 잡화점은 항상 잔돈이 충분히 있고 거스름돈 개수가 가장 적게 잔돈을 주어야만 하기 때문에, 가장 금액이 큰 잔돈부터 계산을 시작합니다. 그러기 위해서는 가장 금액이 큰 잔돈 순서대로 배열을 만들어 줄 필요성이 있으므로, joiCoins라는 배열을 만들어 큰 잔돈 순서대로 요소를 채워줍니다.

for문에서는 만든 배열의 요소 개수만큼만 반복문을 돌릴 것이고, if문에서는 잔돈이 0원이 되면 for문을 멈추도록 조건을 짠 뒤, 거스름돈이 큰 순서대로 나눠서 몫을 구하는 방식을 취합니다.

count 변수에는 change와 joiCoins[i]를 나눈 몫을 카운트하여 넣어주고, change에는 거스름돈으로 나누어 나온 나머지를 재할당 해줍니다.

greedy Algorithm은 선택의 순간마다 당장 눈앞에 보이는 최적의 상황만을 쫓아 최종적인 해답에 도달하는 방법이라고 학습했습니다. 따라서 해당 로직은 “거스름돈을 가장 큰 잔돈부터 나눠서 0원으로 만든다" 라는 최적의 상황을 쫓게 되는 것입니다. 앞서 김코딩의 동전을 거슬러주는 예시와 비교해보며 단계를 다시금 복습해 봅시다.

Algorithm 구현 - Brute-Force Algorithm

컴퓨터 과학에서 Brute Force는 시행착오 방법론을 말합니다. 그리고 암호학에서도 이 용어를 사용합니다.

암호학에서는 Brute Force Attack이라고 불리며 특정한 암호를 풀기 위해서 모든 값을 대입하는 방법을 말합니다.
수많은 시행착오를 통해 민감한 데이터를 해킹하는 방법입니다.
무차별 대입 공격이 다른 해킹 방법과 다른 점은 지능형 전략을 사용하지 않는 점입니다.
무차별 대입 공격은 올바른 조합을 찾을 때까지 다양한 조합을 시도하는 것입니다.

예를 들어 0-9 사이의 4자리 숫자로 된 자물쇠가 있다고 가정해 봅시다.
이 자물쇠의 번호 조합은 잊어버렸지만 튼튼해서 다른 자물쇠로는 바꾸고 싶지 않습니다.
자물쇠를 사용하려면 비밀번호를 0000부터 9999까지의 경우의 수를 모두 하나하나 대입하여 자물쇠를 열어야 합니다.
이때 최악의 경우 10000번의 시도가 필요합니다.
이렇게 하나하나 대입하여 시도하는 방법이 Brute Force Attack입니다.

Brute Force Algorithm

Brute Force Algorithm은 무차별 대입 방법을 나타내는 알고리즘입니다.
순수한 컴퓨팅 성능에 의존하여 모든 가능성을 시도하여 문제를 해결하는 방법입니다.
Brute Force는 최적의 솔루션이 아니라는 것을 의미하기도 합니다.
공간복잡도와 시간복잡도의 요소를 고려하지 않고 최악의 시나리오를 취하더라도 솔루션을 찾으려고 하는 방법을 의미합니다.

Brute Force Algorithm은 크게 두 가지 경우에 사용됩니다.

  • 프로세스 속도를 높이는데 사용할 수 있는 다른 알고리즘이 없을 때
  • 문제를 해결하는 여러 솔루션이 있고 각 솔루션을 확인해야 할 때

예를 들어 어떤 문서 중에서 ‘kimcoding’ 이란 문자열을 찾아야 한다고 가정해 보겠습니다.
이때, 사전과 같이 모든 단어가 정렬되어 있다면 이진 탐색 알고리즘을 이용하여 절반씩 범위를 줄일 수 있습니다.
모든 단어 n에 대해 시간복잡도는 O(logn)이 될 수도 있습니다.
하지만 문서는 사전처럼 정렬되어 있지 않습니다.
목표 단어 ‘kimcoding’에 도달하려면 각 단어를 반복해서 비교해야 합니다.
시간복잡도는 O(n)과 같습니다.

이처럼 Brute Force Algorithm은 문제에 더 적절한 해결 방법을 찾기 전에 시도하는 방법입니다.
그러나 데이터의 범위가 커질수록 상당히 비효율적입니다.
프로젝트의 규모가 커진다면 더 효율적인 알고리즘을 사용 해야 합니다.

Brute Force Algorithm의 한계

Brute Force Algorithm은 문제의 복잡도에 매우 민감한 단점을 가지고 있습니다.
문제가 복잡해질수록 기하급수적으로 많은 자원을 필요로 하는 비효율적인 알고리즘이 될 수 있습니다.
여기서 자원은 시간이 될 수도 있고 컴퓨팅 자원이 될 수도 있습니다.

일반적으로 문제의 규모가 현재 자원으로 충분히 커버가 가능한 경우에 Brute Force Algorithm을 사용합니다.
만약 이를 벗어난 경우는 정확도를 조금 희생하고 더 효율적인 알고리즘을 사용합니다.

Brute Force Algorithm을 어디서 사용하고 있을까?

Brute Force Algorithm은 많은 곳에서 사용하고 있습니다.
지금까지 풀었던 문제를 돌아보면 Brute Force Algorithm을 사용해서 풀었던 문제들도 있을 것입니다.
반복문을 통해서 범위를 줄이지 않고 하나하나 비교하는 것도 Brute Force Algorithm입니다.
어떻게 활용되는지 살펴보겠습니다.

순차 검색 알고리즘 (Sequential Search)

  • 배열 안에 특정 값이 존재하는지 검색할 때 인덱스 0부터 마지막 인덱스까지 차례대로 검색합니다.

function SequentialSearch2(arr, k) {
	// 검색 키 K를 사용하여 순차 검색을 구현
	// 입력: n개의 요소를 갖는 배열 A와 검색 키 K
  // 출력: K값과 같은 요소 인덱스 또는 요소가 없을 때 -1
	let n = arr.length;    // 현재의 배열 개수를 n에 할당합니다.
  arr[n] = k;            // 검색 키를 arr n인덱스에 할당합니다.
	let i = 0;             // while 반복문의 초기 값을 지정하고
	while (arr[i] !== k) { // 배열의 값이 k와 같지 않을 때까지 반복합니다.
		i = i + 1;           // k와 같지않을 때 i를 +1 합니다.
	}
	if (i < n) {     // i가 k를 할당하기전의 배열개수보다 적다면(배열안에 k값이 있다면)
		return i;      // i를 반환합니다.
	} else {
		return -1;     // -1을 반환합니다.
	}
}

문자열 매칭 알고리즘 (Brute-Force String Matching)

  • 길이가 n인 전체 문자열과 길이가 m인 문자열 패턴을 포함하는지를 검색합니다.

function BruteForceStringMatch(arr, patternArr) {
  // Brute Force 문자열 매칭을 구현합니다.
  // 입력: n개의 문자 텍스트를 나타내는 배열 T, m개의 문자 패턴을 나타내는 배열P
  // 출력: 일치하는 문자열이 있으면 첫번째 인덱스를 반환합니다. 검색에 실패한 경우 -1을 반환합니다.
  let n = arr.length;
  let m = patternArr.length;
  for (let i = 0; i < n - m; i++) {
  // 전체 요소개수에서 패턴개수를 뺀 만큼만 반복합니다. 그 수가 마지막 비교요소이기 때문입니다.
  // i 반복문은 패턴과 비교의 위치를 잡는 반복문입니다.
    let j = 0;
    // j는 전체와 패턴의 요소 하나하나를 비교하는 반복문입니다.
    while (j < m && patternArr[j] === arr[i + j]) {
      // j가 패턴의 개수보다 커지면 안되기때문에 개수만큼만 반복합니다.
      // 패턴에서는 j인덱스와 전체에서는 i + j 인덱스의 값이 같은지 판단합니다.
      // 같을때 j에 +1 합니다.
      j = j + 1;
    }
    if (j === m) {
			// j와 패턴 수가 같다는 것은 패턴의 문자열과 완전히 같은 부분이 존재한다는 의미입니다.
      // 이 때의 비교했던 위치를 반환합니다.
      return i;
    }
  }
  return -1;
}

선택 정렬 알고리즘 (Selection Sort)

  • 전체 배열을 검색하여 현재 요소와 비교하고 컬렉션이 완전히 정렬될 때까지 현재 요소보다 더 작거나 큰 요소(오름차순 또는 내림차순에 따라)를 교환하는 정렬 알고리즘입니다.

function SelectionSort(arr) {
  // 주어진 배열을 Selection Sort로 오름차순 정렬합니다.
  // 입력: 정렬 가능한 요소의 배열 A
  // 출력: 오름차순으로 정렬된 배열
  for (let i = 0; i < arr.length - 1; i++) {
  // 배열의 0번째 인덱스부터 마지막인덱스까지 반복합니다.
  // 현재 값 위치에 가장 작은 값을 넣을 것입니다.
    let min = i;
    // 현재 인덱스를 최소값의 인덱스를 나타내는 변수에 할당합니다.
    for (let j = i + 1; j < arr.length; j++) {
    // 현재 i에 +1을 j로 반복문을 초기화하고 i 이후의 배열요소과 비교하는 반복문을 구성합니다.
      if (arr[j] < arr[min]) {
      // j인덱스의 배열 값이 현재 인덱스의 배열 값보다 작다면
        min = j;
        // j 인덱스를 최소를 나타내는 인덱스로 할당합니다.
      }
    }
    // 반복문이 끝났을 때(모든 비교가 끝났을때)
    // min에는 최소값의 인덱스가 들어있습니다.
    // i값과 최소값을 바꿔서 할당합니다.
    let temp = arr[i];
    arr[i] = arr[min];
    arr[min] = temp;
  }
	// 모든 반복문이 끝나면 정렬된 배열을 반환합니다.
  return arr;
}

그 밖의 Brute Force 활용 알고리즘

  • 버블 정렬 알고리즘 - Bubble Sort
  • Tree 자료 구조의 완전탐색 알고리즘 - Exhausive Search (BFS, DFS)
  • 동적 프로그래밍 - DP(Dynamic Programing)

Dynamic Programming - 피보나치 수열과 타일링

Fibonacci

DP를 이용하여 피보나치 수열 문제를 해결하려고 할 때, 크게 두 가지 방식 Recursion + Memoization 과 Iteration + Tabulation 이 있습니다.

Recursion + Memoization

다이내믹 프로그래밍은 하위 문제의 해결책을 저장한 뒤, 동일한 하위 문제가 나왔을 경우 저장해놓은 해결책을 이용합니다.
이때 결과를 저장하는 방법을 Memoization이라고 합니다.

Memoization의 정의: 컴퓨터 프로그램이 동일한 계산을 반복해야 할 때, 이전에 계산한 값을 메모리에 저장함으로써 동일한 계산의 반복 수행을 제거하여 프로그램 실행 속도를 빠르게 하는 기술

재귀 함수에 Memorization을 어떻게 적용할지 다음의 예시를 통해 확인하세요.

function fibMemo(n, memo = []) {

		// 이미 해결한 하위 문제인지 찾아본다
    if(memo[n] !== undefined) {
			return memo[n];
		}

    if(n <= 2) {
			return 1;
		}

		// 없다면 재귀로 결괏값을 도출하여 res 에 할당
    let res = fibMemo(n-1, memo) + fibMemo(n-2, memo);

		// 추후 동일한 문제를 만났을 때 사용하기 위해 리턴 전에 memo 에 저장
    memo[n] = res;

    return res;
}

//[코드] 다이내믹 프로그래밍을 적용한 피보나치 수열
  1. fibMemo 함수의 파라미터로 n 과 빈 배열memo 를 전달합니다.
  • 이 빈 배열은 하위 문제의 결괏값을 저장하는 데에 사용합니다.

  1. memo 의 n번째 인덱스가 undefined 이 아니라면 : 다시 말해 n 번째 인덱스에 해당하는 피보나치 값이 저장되어 있다면, 저장되어 있는 값을 그대로 사용합니다.

  2. undefined라면 : 즉, 처음 계산하는 수라면 fibMemo(n-1, memo) + fibMemo(n-2, memo)를 이용하여 값을 계산하고, 그 결괏값을 res 라는 변수에 할당합니다.

  3. 마지막으로 res 를 리턴하기 전에 memo 의 n 번째 인덱스에 res 값을 저장합니다.

  • 이렇게 하면 (n+1)번째의 값을 구하고 싶을 때, n번째 값을 memo 에서 확인해 사용할 수 있습니다.

위의 과정을 이미지로 표현하면 다음과 같습니다.

  • fib(7) 을 구하기 위해서는 이전의 작업으로 저장해 놓은 하위 문제의 결괏값을 사용합니다. n이 커질수록 계산해야 할 과정은 선형으로 늘어나기 때문에 시간 복잡도는 O(N) 이 됩니다.

Memorization을 사용하지 않고 재귀 함수로만 문제를 풀 경우, n이 커질수록 계산해야 할 과정이 두 배씩 늘어나 시간 복잡도가 O(2^N)에 되는 것과 비교하였을 때, 다이내믹 프로그래밍의 강점을 확인할 수 있습니다.

다이내믹 프로그래밍을 적용한 피보나치 수열에서 fib(7)을 구하기 위해 fib(6)을, fib(6)을 구하기 위해 fib(5)을 호출합니다. 이런 풀이 과정이 마치, 위에서 아래로 내려가는 것과 같습니다.
큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제를 호출한다고 하여, 이 방식을 Top-down 방식이라 부르기도 합니다.

Iteration + Tabulation

이번에는 반복문을 이용하여 다이내믹 프로그래밍을 구현합니다.

Tabulation의 정의: 컴퓨터 프로그램이 동일한 계산을 반복해야 할 때, 제일 작은 값부터 구해 리스트(도표)에 작성함으로써 반복 수행을 제거하여 프로그램 실행 속도를 빠르게 하는 기술

하위 문제의 결괏값을 배열에 저장하고, 필요할 때 조회하여 사용하는 것은 재귀 함수를 이용한 방법과 같습니다. 그러나 재귀 함수를 이용한 방법이 문제를 해결하기 위해 큰 문제부터 시작하여 작은 문제로 옮아가며 문제를 해결하였다면, 반복문을 이용한 방법은, 작은 문제에서부터 시작하여 큰 문제를 해결해 나가는 방법입니다. 따라서 이 방식을 Bottom-up 방식이라 부르기도 합니다.

function fibTab(n) {
    if(n <= 2) {
			return 1;
		}

		// n 이 1 & 2일 때의 값을 미리 배열에 저장해 놓는다
    let fibNum = [0, 1, 1];

    for(let i = 3; i <= n; i++) {
        fibNum[i] = fibNum[i-1] + fibNum[i-2];
		// n >= 3 부터는 앞서 배열에 저장해 놓은 값들을 이용하여
		// n번째 피보나치 수를 구한 뒤 배열에 저장 후 리턴한다
    }

    return fibNum[n];
}

// [코드] 반복문과 다이내믹 프로그래밍으로 구현한 피보나치 수열
  1. fibTab 함수의 파라미터는 n 하나뿐입니다. 만약, n 이 2와 같거나, 그 이하라면 1을 반환합니다.
  • 피보나치 수열의 첫 번째와 두 번째는 1, 1이라는 것을 기억해야 합니다.
  1. fibNum이라는 변수에 n 이 1 & 2일 때의 값을 배열을 사용해 저장해 놓습니다.
  • 피보나치 수열은 1부터 시작하지만 인덱스는 0부터 시작하기 때문에 0 번째 인덱스를 채워 줄 dummy data로 0을 삽입합니다.

  1. 2의 다음인 3부터 n까지 피보나치 수를 구하고, fibNum배열에 저장합니다.

  2. fibNum의 n 번째 인덱스 값 을 반환합니다.

피보나치 수열을 총 세 가지 방법(재귀, 탑다운, 바텀업)으로 구현했습니다. 이렇게 구현한 3가지 방법이 시간 복잡도를 얼마나 효과적으로 개선하였는지 눈으로 직접 확인해야 합니다.
세 가지 코드들을 크롬 개발자 도구에 복사한 뒤 동일한 수를 입력하였을 때 결괏값을 얻기까지 과연 얼마의 시간이 소요되는지 확인하세요.

시간을 측정하는 방법은 하단의 크롬 개발자 도구에서 함수 실행 시간 측정 방법을 참고하세요.

특히 Top-down과 Bottom-up이 과연 동일한 소요 시간을 갖는지 확인하세요.

직접 코드를 실행하며 결과에 대한 원인을 분석해보길 권합니다.

크롬 개발자 도구에서 함수 실행 시간 측정 방법

함수의 실행 시간을 측정하는 방법은 여러 가지가 있습니다.
그중에서 다음의 방법으로 간단하게 함수의 실행 시간을 확인할 수 있습니다.
실행 환경에 따라 결과가 다르므로 측정 결과는 학습 용도로만 사용하세요.

var t0 = performance.now();
fib(50); // 여기에서 함수 실행을 시켜주세요
var t1 = performance.now();
console.log("runtime: " + (t1 - t0) + 'ms')

// [코드] 함수의 실행 시간을 측정하는 방법

2x1 타일링

[ 문제 ]

2xn 크기의 타일이 주어진다면, 2x1과 1x2 크기의 타일로 채울 수 있는 경우의 수를 모두 구해야 합니다.

  • n = 1일 땐 경우의 수는 1 : 세로 타일 1개
  • n = 2일 땐 경우의 수는 2 : 세로 타일 2개 or 가로 타일 2개
  • n = 3일 땐 경우의 수는 3 : 세로 타일 3개 or 왼쪽 세로 타일 1개 + 가로 타일 2개 or 가로 타일 2개 + 오른쪽 세로 타일 1개

2개의 타일로 빈 공간을 어떻게 채우든 상관없이, 맨 마지막 타일은 세로 타일 1개이거나 가로 타일 2개인, 2 가지 경우밖에 없습니다.
맨 마지막 타일의 경우의 수를 제외했을 때 남는 공간의 마지막 타일도 세로 타일 1개, 혹은 가로 타일 2개인 2가지 경우밖에 없습니다. 이렇게, DP 문제는 문제 속의 규칙성을 찾는 것이 키 포인트입니다.

  • n = 4일 땐 경우의 수는 5 : 세로 타일 1개를 뺀 n = 3과, 가로 타일 2개를 뺀 n = 2일 때의 경우의 수를 더했습니다.

즉, 세로와 가로의 마지막 타일을 제외한 나머지 공간을 채우는 경우의 수와 답이 같습니다.

function tiling2x1(n) {
  let memo = [0, 1, 2];

  for (let i = 3; i <= n; i++) {
    memo[i] = memo[i - 1] + memo[i - 2];
  }

  return memo[n];
};
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김은서
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