문제 요약
이 문제는 아주 평범한 배낭에 관한 문제이다.
흔히, 냅색(Knapsack) 알고리즘이라고 불리는 문제이다.
최대 K만큼의 무게를 넣을 수 있는 배낭이 있을 때,
무게 W와 가치 V를 가지는 N개의 물건들로 최대의 가치를 가지도록 배낭을 싸야 한다.
입력
첫 줄에 물품의 수 N(1 ≤ N ≤ 100)과 준서가 버틸 수 있는 무게 K(1 ≤ K ≤ 100,000)가 주어진다.
두 번째 줄부터 N개의 줄에 거쳐 각 물건의 무게 W(1 ≤ W ≤ 100,000)와 해당 물건의 가치 V(0 ≤ V ≤ 1,000)가 주어진다. 입력으로 주어지는 모든 수는 정수이다.
출력
한 줄에 배낭에 넣을 수 있는 물건들의 가치합의 최댓값을 출력한다.
풀이
준서가 버틸 수 있는 무게가 7이라고 하자. 이 때, K=7 이다.
그리고 물품이 4개 있는데 (N=4), 각각의 물건들의 무게(W)와 가치(V)는 다음 표와 같다.
| 무게(W) | 6 | 4 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|
| 가치(V) | 13 | 8 | 6 | 12 |
첫 번째 물건의 무게는 6인데, 준서의 배낭은 현재 무게가 0이므로 담을 수 있다.
두 번째 물건을 살펴보면, 무게가 4이다. 첫 번째 물건을 담았으면 4 + 6 > 7(배낭의 최대) 이므로 물건을 담을 수 없다.
따라서 첫 번째 물건을 버리던지 or 두 번째 물건을 담지 않던지 둘 중에 선택을 해야 한다.
이 때, 더 가치 있는 것을 판별해줄 수 있는 알고리즘을 짜야 한다.
N * K의 2차원 배열 dp[n][k]를 만들어 각각의 물건을 선택할 때마다 최대 가치를 판별해줄 수 있도록 한다.
dp[n][k]는 N번째 물건까지 살펴보았을 때, 무게가 K인 배낭의 최대 가치이다.
물건을 배낭에 넣을 때,
- 현재 배낭의 허용 무게보다 넣을 물건의 무게가 더 크다면 물건을 넣지 않는다.
- 그렇지 않다면, 다음 중 더 높은 가치를 가진 물건을 선택하여 넣는다.
- 현재 넣을 물건의 무게만큼 배낭에서 뺀다. 그리고 현재 물건을 넣는다.
- 현재 물건을 넣지 않고, 이전 배낭의 무게를 그대로 가지고 간다.
위의 과정을 식으로 나타내면 다음과 같다.
현재 넣을 물건의 인덱스를 i, 현재 배낭의 허용 무게를 j, 현재 담을 물건의 무게를 weight, 가치를 value라고 할 때
# 배낭의 허용 무게보다 물건의 무게가 더 크면 물건을 넣지 않는다.
j < weight: dp[i][j] = dp[i-1][j]
# 현재 물건을 넣는 경우와 이전까지의 배낭의 가치를 비교하여, 다음 중 더 높은 가치를 가진 값을 선택
dp[i][j] = max(dp[i-1][j]), dp[i-1][j-weight]+value)Python 코드
