문제
N개의 수로 이루어진 수열 A1, A2, ..., AN이 주어진다. 또, 수와 수 사이에 끼워넣을 수 있는 N-1개의 연산자가 주어진다. 연산자는 덧셈(+), 뺄셈(-), 곱셈(×), 나눗셈(÷)으로만 이루어져 있다.
우리는 수와 수 사이에 연산자를 하나씩 넣어서, 수식을 하나 만들 수 있다. 이때, 주어진 수의 순서를 바꾸면 안 된다.
예를 들어, 6개의 수로 이루어진 수열이 1, 2, 3, 4, 5, 6이고, 주어진 연산자가 덧셈(+) 2개, 뺄셈(-) 1개, 곱셈(×) 1개, 나눗셈(÷) 1개인 경우에는 총 60가지의 식을 만들 수 있다. 예를 들어, 아래와 같은 식을 만들 수 있다.
1+2+3-4×5÷6
1÷2+3+4-5×6
1+2÷3×4-5+6
1÷2×3-4+5+6
식의 계산은 연산자 우선 순위를 무시하고 앞에서부터 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취한다. 음수를 양수로 나눌 때는 C++14의 기준을 따른다. 즉, 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다. 이에 따라서, 위의 식 4개의 결과를 계산해보면 아래와 같다.
1+2+3-4×5÷6 = 1
1÷2+3+4-5×6 = 12
1+2÷3×4-5+6 = 5
1÷2×3-4+5+6 = 7
N개의 수와 N-1개의 연산자가 주어졌을 때, 만들 수 있는 식의 결과가 최대인 것과 최소인 것을 구하는 프로그램을 작성하시오.
입력
첫째 줄에 수의 개수 N(2 ≤ N ≤ 11)가 주어진다. 둘째 줄에는 A1, A2, ..., AN이 주어진다. (1 ≤ Ai ≤ 100) 셋째 줄에는 합이 N-1인 4개의 정수가 주어지는데, 차례대로 덧셈(+)의 개수, 뺄셈(-)의 개수, 곱셈(×)의 개수, 나눗셈(÷)의 개수이다.
출력
첫째 줄에 만들 수 있는 식의 결과의 최댓값을, 둘째 줄에는 최솟값을 출력한다. 연산자를 어떻게 끼워넣어도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같은 결과가 나오는 입력만 주어진다. 또한, 앞에서부터 계산했을 때, 중간에 계산되는 식의 결과도 항상 -10억보다 크거나 같고, 10억보다 작거나 같다.
예제 입력 1
2
5 6
0 0 1 0
예제 출력 1
30
30
예제 입력 2
3
3 4 5
1 0 1 0
예제 출력 2
35
17
예제 입력 3
6
1 2 3 4 5 6
2 1 1 1
예제 출력 3
54
-24
힌트
세 번째 예제의 경우에 다음과 같은 식이 최댓값/최솟값이 나온다.
최댓값: 1-2÷3+4+5×6
최솟값: 1+2+3÷4-5×6
문제풀이
n = int(input())
# 연산을 수행하고자 하는 수 리스트
data = list(map(int, input().split()))
# 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 연산자 개수
add, sub, mul, div = map(int, input().split())
# 최솟값과 최댓값 초기화
min_value = 1e9
max_value = -1e9
# 깊이 우선 탐색 (DFS) 메서드
def dfs(i, now):
global min_value, max_value, add, sub, mul, div
# 모든 연산자를 다 사용한 경우, 최솟값과 최댓값 업데이트
if i == n:
min_value = min(min_value, now)
max_value = max(max_value, now)
else:
# 각 연산자에 대하여 재귀적으로 수행
if add > 0:
add -= 1
dfs(i + 1, now + data[i])
add += 1
if sub > 0:
sub -= 1
dfs(i + 1, now - data[i])
sub += 1
if mul > 0:
mul -= 1
dfs(i + 1, now * data[i])
mul += 1
if div > 0:
div -= 1
dfs(i + 1, int(now / data[i])) # 나눌 때는 나머지를 제거
div += 1
# DFS 메서드 호출
dfs(1, data[0])
# 최댓값과 최솟값 차례대로 출력
print(max_value)
print(min_value)풀이
위 문제를 보고 2가지 풀이 방법이 떠올랐다. 하나는 연산자들에 대한 순열을 구하여 푸는 방법이다.
다른 하나는 DFS를 이용해 최대, 최솟값을 구하는 방법이다.
1) 순열은 파이썬 permutations 모듈을 이용하여 모든 순열을 구하여 완전탐색을 수행하면 된다. 완전탐색의 경우 Python3에서 시간초과가 나므로 PyPy3로 제출해야한다.
2) DFS의 경우 Python3에서 통과가 된다. DFS 풀이는 연산자의 갯수만큼 탐색을 하며, 연산자가 존재하면 그 연산을 수행하며 재귀호출을 통해 탐색을 진행한다.
문제에서 주의할 점은 연산자 우선 순위를 무시하고 무조건 앞에서부터 연산을 진행해야 한다. 또, 나눗셈은 정수 나눗셈으로 몫만 취하며, 음수를 양수로 나눌 때는 양수로 바꾼 뒤 몫을 취하고, 그 몫을 음수로 바꾼 것과 같다는 점이다.
코드
백트래킹 (DFS)
백트래킹 (Python3 통과, PyPy3도 통과)
import sys
input = sys.stdin.readline
N = int(input())
num = list(map(int, input().split()))
op = list(map(int, input().split())) # +, -, *, //
maximum = -1e9
minimum = 1e9
def dfs(depth, total, plus, minus, multiply, divide):
global maximum, minimum
if depth == N:
maximum = max(total, maximum)
minimum = min(total, minimum)
return
if plus:
dfs(depth + 1, total + num[depth], plus - 1, minus, multiply, divide)
if minus:
dfs(depth + 1, total - num[depth], plus, minus - 1, multiply, divide)
if multiply:
dfs(depth + 1, total * num[depth], plus, minus, multiply - 1, divide)
if divide:
dfs(depth + 1, int(total / num[depth]), plus, minus, multiply, divide - 1)
dfs(1, num[0], op[0], op[1], op[2], op[3])
print(maximum)
print(minimum)순열
순열 (Python3 시간초과 / PyPy3는 통과)
import sys
from itertools import permutations
input = sys.stdin.readline
N = int(input())
num = list(map(int, input().split()))
op_num = list(map(int, input().split())) # +, -, *, /
op_list = ['+', '-', '*', '/']
op = []
for k in range(len(op_num)):
for i in range(op_num[k]):
op.append(op_list[k])
maximum = -1e9
minimum = 1e9
def solve():
global maximum, minimum
for case in permutations(op, N - 1):
total = num[0]
for r in range(1, N):
if case[r - 1] == '+':
total += num[r]
elif case[r - 1] == '-':
total -= num[r]
elif case[r - 1] == '*':
total *= num[r]
elif case[r - 1] == '/':
total = int(total / num[r])
if total > maximum:
maximum = total
if total < minimum:
minimum = total
solve()
print(maximum)
print(minimum)