서로소 집합 자료구조
- 서로소 부분 집합들로 나누어진 원소들의 데이터를 처리하기 위한 자료구조
- 서로소 집합 자료구조는 두 종류의 연산을 지원한다
- 합집합(Union): 두 개의 원소가 포함된 집합을 하나의 집합으로 합치는 연산
- 찾기(Find): 특정한 원소가 속한 집합이 어떤 집합인지 알려주는 연산
서로소 집합 자료구조는 합치기 찾기(Union Find) 자료구조라고 불리기도 한다
- 여러 개 합치기 연산이 주어졌을 때 서로소 집합 자료구조의 동작 과정은 다음과 같다
- 합집합(Union) 연산을 확인하여, 서로 연결된 두 노드 A, B를 확인한다
a. A와 B의 루트 노드 A′, B′를 각각 찾는다
b. A′를 B′의 부모 노드로 설정한다 - 모든 합집합(Union) 연산을 처리할 때까지 1번의 과정을 반복한다
서로소 집합 자료구조: 기본적인 구현 방법 (Python)
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
return find_parent(parent, parent[x])
return x
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# Union 연산을 각각 수행
for i in range(e):
a, b = map(int, input().split())
union_parent(parent, a, b)
# 각 원소가 속한 집합 출력하기
print('각 원소가 속한 집합: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(find_parent(parent, i), end=' ')
print()
# 부모 테이블 내용 출력하기
print('부모 테이블: ', end='')
for i in range(1, v + 1):
print(parent[i], end=' ')서로소 집합 자료구조: 경로 압축
- 찾기(Find) 함수를 최적화하기 위한 방법으로 경로 압축(Path Compression)을 이용할 수 있다
- 찾기(Find) 함수를 재귀적으로 호출한 뒤에 부모 테이블 값을 바로 갱신한다
# 특정한 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]- 경로 압축 기법을 적용하면 각 노드에 대하여 찾기(Find) 함수를 호출한 이후에 해당 노드의 루트 노드가 바로 부모 노드가 된다
- 동일한 예시에 대해서 모든 합집합(Union) 함수를 처리한 후 각 원소에 대하여 찾기(Find) 함수를 수행하면 다음과 같이 부모 테이블이 갱신된다
- 기본적인 방법에 비하여 시간 복잡도가 개선된다
신장 트리
- 그래프에서 모든 노드를 포함하면서 사이클이 존재하지 않는 부분 그래프를 의미한다
- 모든 노드가 포함되어 서로 연결되면서 사이클이 존재하지 않는다는 조건은 트리의 조건이기도 하다
최소 신장 트리
- 최소한의 비용으로 구성되는 신장 트리를 찾아야 할 때 어떻게 해야 할까?
- 예를 들어 N개의 도시가 존재하는 상황에서 두 도시 사이에 도로를 놓아 전체 도시가 서로 연결될 수 있게 도로를 설치하는 경우를 생각해 보자
- 두 도시 A,B를 선택했을 때 A에서 B로 이동하는 경로가 반드시 존재하도록 도로를 설치한다
크루스칼 알고리즘
- 대표적인 최소 신장 트리 알고리즘이다
- 그리디 알고리즘으로 분류된다
- 구체적인 동작 과정은 다음과 같다
1) 간선 데이터를 비용에 따라 오름차순으로 정렬한다
2) 간선을 하나씩 확인하며 현재의 간선이 사이클을 발생시키는지 확인한다
- 사이클이 발생하지 않는 경우 최소 신장 트리에 포함시킨다
- 사이클이 발생하는 경우 최소 신장 트리에 포함시키지 않는다
3) 모든 간선에 대하여 2번의 과정을 반복한다
크루스칼 알고리즘 성능 분석
- 크루스칼 알고리즘은 간선의 개수가 E개일 때, O(ElogE) 의 시간 복잡도를 가진다
- 크루스칼 알고리즘에서 가장 많은 시간을 요구하는 곳은 간선의 정렬을 수행하는 부분이다
- 표준 라이브러리를 이용해 𝐸개의 데이터를 정렬하기 위한 시간 복잡도는 O(ElogE) 이다
크루스칼 알고리즘 (Python)
# 특정 원소가 속한 집합을 찾기
def find_parent(parent, x):
# 루트 노드가 아니라면, 루트 노드를 찾을 때까지 재귀적으로 호출
if parent[x] != x:
parent[x] = find_parent(parent, parent[x])
return parent[x]
# 두 원소가 속한 집합을 합치기
def union_parent(parent, a, b):
a = find_parent(parent, a)
b = find_parent(parent, b)
if a < b:
parent[b] = a
else:
parent[a] = b
# 노드의 개수와 간선(Union 연산)의 개수 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
parent = [0] * (v + 1) # 부모 테이블 초기화하기
# 모든 간선을 담을 리스트와, 최종 비용을 담을 변수
edges = []
result = 0
# 부모 테이블상에서, 부모를 자기 자신으로 초기화
for i in range(1, v + 1):
parent[i] = i
# 모든 간선에 대한 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b, cost = map(int, input().split())
# 비용순으로 정렬하기 위해서 튜플의 첫 번째 원소를 비용으로 설정
edges.append((cost, a, b))
# 간선을 비용순으로 정렬
edges.sort()
# 간선을 하나씩 확인하며
for edge in edges:
cost, a, b = edge
# 사이클이 발생하지 않는 경우에만 집합에 포함
if find_parent(parent, a) != find_parent(parent, b):
union_parent(parent, a, b)
result += cost
print(result)위상 정렬
- 사이클이 없는 방향 그래프의 모든 노드를 방향성에 거스르지 않도록 순서대로 나열하는 것을 의미
예시) 선수과목을 고려한 학습 순서 설정
위 세 과목을 모두 듣기 위한 적절한 학습 순서는?
자료구조 → 알고리즘 → 고급 알고리즘 (O)
자료구조 → 고급 알고리즘 → 알고리즘 (X)
위상 정렬 알고리즘
큐를 이용하는 위상 정렬 알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다
1) 진입차수가 0인 모든 노드를 큐에 넣는다
2) 큐가 빌 때까지 다음의 과정을 반복한다
- a) 큐에서 원소를 꺼내 해당 노드에서 나가는 간선을 그래프에서 제거한다
- b) 새롭게 진입차수가 0이 된 노드를 큐에 넣는다
=> 결과적으로 각 노드가 큐에 들어온 순서가 위상 정렬을 수행한 결과와 같다
위상 정렬의 특징
- 위상 정렬은 DAG에 대해서만 수행할 수 있다
- DAG (Direct Acyclic Graph): 순환하지 않는 방향 그래프
- 위상 정렬에서는 여러 가지 답이 존재할 수 있다
- 한 단계에서 큐에 새롭게 들어가는 원소가 2개 이상인 경우가 있다면 여러 가지 답이 존재한다
- 모든 원소를 방문하기 전에 큐가 빈다면 사이클이 존재한다고 판단할 수 있다
- 사이클에 포함된 원소 중에서 어떠한 원소도 큐에 들어가지 못한다
- 스택을 활용한 DFS를 이용해 위상 정렬을 수행할 수도 있다
위상 정렬 알고리즘 성능 분석
- 위상 정렬을 위해 차례대로 모든 노드를 확인하며 각 노드에서 나가는 간선을 차레대로 제거해야 한다
- 위상 정렬 알고리즘의 시간 복잡도는 O(V + E) 이다
from collections import deque
# 노드의 개수와 간선의 개수를 입력 받기
v, e = map(int, input().split())
# 모든 노드에 대한 진입차수는 0으로 초기화
indegree = [0] * (v + 1)
# 각 노드에 연결된 간선 정보를 담기 위한 연결 리스트 초기화
graph = [[] for i in range(v + 1)]
# 방향 그래프의 모든 간선 정보를 입력 받기
for _ in range(e):
a, b = map(int, input().split())
graph[a].append(b) # 정점 A에서 B로 이동 가능
# 진입 차수를 1 증가
indegree[b] += 1
# 위상 정렬 함수
def topology_sort():
result = [] # 알고리즘 수행 결과를 담을 리스트
q = deque() # 큐 기능을 위한 deque 라이브러리 사용
# 처음 시작할 때는 진입차수가 0인 노드를 큐에 삽입
for i in range(1, v + 1):
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 큐가 빌 때까지 반복
while q:
# 큐에서 원소 꺼내기
now = q.popleft()
result.append(now)
# 해당 원소와 연결된 노드들의 진입차수에서 1 빼기
for i in graph[now]:
indegree[i] -= 1
# 새롭게 진입차수가 0이 되는 노드를 큐에 삽입
if indegree[i] == 0:
q.append(i)
# 위상 정렬을 수행한 결과 출력
for i in result:
print(i, end=' ')
topology_sort()
This is a velog that freely records the process I learn.