그리디 이론

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📗 그리디 알고리즘(탐욕법)

1. 정의
   • 현재 상황에서 지금 당장 좋은 것만 고르는 방법
     
     
2. 풀이법

• 문제를 풀기 위한 최소한의 아이디어를 떠올릴 수 있는 능력 요구
  • 플로이드 워셜, 크루스칼, 다익스트라 최단경로 알고리즘 등 잘 알려진 알고리즘을 제외한 일반적 경우에 해당
• ⭐정당성 분석⭐이 중요
  • 단순히 가장 좋아 보이는 것을 반복적으로 선택해도 최적해를 구할 수 있는지 검토
• 일반적 상황에서 그리디 알고리즘은 최적해를 보장할 수 없을 때가 많음.
• 코딩테스트 → 대부분의 그리디 문제는 ”탐욕법으로 얻은 해가 최적해가 되는 상황에서, 이를 추론”할 수 있어야 풀리도록 출제됨.

• 예시: 최적해가 되지 않는 상황
  [문제 상황] 루트 노드부터 시작하여 거쳐 가는 노드 값의 합을 최대로 만들고 싶습니다.

Q. 최적의 해는 무엇인가요?

• 단순한 그림이기 때문에, 5 → 7 → 9로 가면 된다는 판단을 바로 할 수 있음.
  
  

Q. 단순히 매 상황에서 가장 큰 값만 고른다면 어떻게 될까요?

• 5에서 시작 → 7, 10, 8 중 가장 큰 10 선택 → 4,3 중 가장 큰 4 선택
  

📗 <문제> 예제 3-1. 거스름돈

1. 문제

   • 손님에게 거슬러 줘야 할 돈이 N원일 때 거슬러 줘야 할 동전의 최소 개수 구하기

2. 조건

   • 카운터에는 거스름돈으로 사용할 500원, 100원, 50원, 10원짜리 동전이 무한히 존재
   • 거슬러 줘야 할 돈 N은 항상 10의 배수(=거슬러주지 못하는 경우는 없음)

3. 아이디어

   • 최적해를 빠르게 구하기 위해서는 가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주면 됨.
   • N원을 거슬러 줘야 할 때, 가장 큰 단위인 500원으로 거슬러 줄 수 있을 만큼 우선 거슬러주기
     • 그 이후, 100원, 50원, 10원 순으로 500원과 같이 진행

4. 풀이

   • N = 1,260일 때
   • step0. 초기 단계 - 남은 돈 : 1,260원

     화폐 단위	500	100	50	10
     손님이 받은 개수	0	0	0	0

• step1. 남은 돈 : 260원

  • 500원짜리로 최대 1,000원 즉, 500원 2개까지 가능

    화폐 단위	500	100	50	10
    손님이 받은 개수	2	0	0	0

• step2. 남은 돈 : 60원

  • 100원짜리로 최대 200원 즉, 100원 2개까지 가능

    화폐 단위	500	100	50	10
    손님이 받은 개수	2	2	0	0

• step3. 남은 돈 : 10원

  • 50원짜리로 최대 50원 즉, 50원 1개까지 가능

    화폐 단위	500	100	50	10
    손님이 받은 개수	2	2	1	0

• step4. 남은 돈 : 0원

  • 10원짜리로 최대 10원 즉, 10원 1개까지 가능

    화폐 단위	500	100	50	10
    손님이 받은 개수	2	2	1	1

• 결과 : 2 + 2 + 1 + 1 = 6개

5. 정당성 분석
   • 가장 큰 화폐 단위부터 돈을 거슬러 주는 것이 최적해를 보장하는 이유?
     • 가지고 있는 동전 중, 큰 단위가 항상 작은 단위의 “배수”이므로 작은 단위 동전들을 종합해 다른 해가 나올 수 없기 때문. ex) 800원을 거슬러줘야 하는데 → 화폐 단위가 500원, 400원, 100원이라면? 그리디 알고리즘 : 500원 1개, 100원 3개 ≠ 최적 해 : 400원 2개
       

6. 코드 답안 예시

   public class Main {
   	public static void main(String[] args){
   		int n = 1260;
   		int cnt = 0;
   		int[] coinTypes = {500, 100, 50, 10};
   
   		for(int i=0; i<4; i++){
   			int coin = coinTypes[i];
   			cnt += n / coin;
   			n %= coin;
   		}
   
   		System.out.println(cnt);
   	}
   }

   
   
7. 시간 복잡도 분석
   • 화폐의 종류가 K라고 할 때, 소스코드의 시간 복잡도는 $O(K)$
     • 화폐의 개수만큼 반복하기 때문!
   • 거슬러줘야 하는 금액과는 무관, 동전의 총 종류에만 영향을 받음.