[ Day 24 ]

dlehd1989.log

2021 부스트캠프 Day 24.

[Day 24] Graph

그래프의 정점을 어떻게 벡터로 표현할까?

정점 표현 학습

정점 표현 학습이란?

그래프의 정점들을 벡터의 형태로 표현하는 것
간단히 정점 임베딩(Node Embedding)으로도 부른다.
벡터 형태의 표현 그 자체를 의미
정점이 표현되는 벡터 공간을 임베딩 공간이라고 부른다.
입력은 그래프로, 주어진 그래프의 각 정점 $u$ 에 대한 임베딩, 즉 벡터표현 $z$ u가 정점 임베딩의 출력이다.

정점 표현 학습의 이유

정점 임베딩의 결과로, 벡터 형태의 데이터를 위한 도구들을 그래프에도 적용
기계학습 도구들이 한가지 예시이다.
대부분 분류기(로지스틱 회귀분석, 다층 퍼셉트론 등) 그리고 군집 분석 알고리즘(K-Means, DBSCAN 등)은 벡터 형태로 표현된 사례(Instance)들을 입력으로 받는다
그래프의 정점들을 벡터 형태로 표현할 수 있다면, 위의 예시와 같은 대표적인 도구들 뿐 아니라, 최신의 기계 학습도구들을 정점 분류(Node Classification), 군집 분석(Community Detection) 등에 활용할 수 있다

정점 표현 학습의 목표

Q : 어떤 기준으로 정점을 벡터로 변환해야 할까?
- 그래프에서의 정점간 유사도를 임베딩 공간에서도 보존하는 것을 목표
임베딩 공간에서의 유사도로는 내적(Inner Product)을 사용한다.
내적은 두 벡터가 클수록, 그리고 같은 방향을 향할 수록 큰 값을 갖는다.
정리하면, 정점 임베딩은 다음 두 단계로 이루어진다.
- 그래프에서의 정점 유사도를 정의하는 단계
- 정의한 유사도를 보존하도록 정점 임베딩을 학습하는 단계

인접성 기반 접근법

두 정점이 인접할 떄 유사하다고 간주.
두 정점 u와 v가 인접하다는 것은 둘을 직접 연결하는 간선 (u,v)가 있음을 의미
인접행렬(Adjacency Matrix) A의 u행 v열 원소 Au,v은 u와 v가 인접한 경우 1, 아닌 경우 0이다.
인접행렬의 원소 Au,v를 두 정점 u와 v의 유사도로 가정.
손실 함수 (Loss Function)은 아래와 같다.
즉, 이 손실함수가 최소가 되는 정점 임베딩을 찾는 것을 목표
손실함수 최소화를 위해서는 (확률적) 경사하강법 등이 사용된다.

인접성 기반 접근법의 한계

인접성만으로 유사도를 판단하는 것은 한계가 있다.
빨간색 정점과 파란색 정점은 거리가 3인 반면 초록색 정점과 파란색 정점은 거리가 2이다.
인접성만을 고려할 경우 이러한 사실에 대한 고려 없이, 두 경우의 유사도는 0으로 같다
군집 관점에서는 빨간색 정점과 파란색 정점은 다른 군집에 속하는 반면, 초록색 정점과 파란색 정점은 같은 군집에 속한다.
인접성만을 고려할 경우 이러한 사실에 대한 고려없이, 두 경우의 유사도는 0으로 같다.

거리/경로/중첩 기반 접근법

거리 기반 접근법

거리 기반 접근법에서는 두 정점 사이의 거리가 충분히 가까운 경우 유사하다고 간주
예를 들어, “충분히”의 기준을 2로 가정.
빨간색 정점은 초록색 그리고 파란색 정점들과 유사하다. 즉 유사도가 1이다.
반면, 빨간색 정점은 보라색 정점과는 유사하지 않다. 즉 유사도가 0이다

경로 기반 접근법

두 정점 사이이의 경로가 많을 수록 유사하다고 간주
정점 u와 v사이의 경로(Path)는 아래 조건을 만족하는 정점들의 순열이다.
- u에서 시작해서 v로 끝나야 한다.
- 순열에서 연속된 정점은 간선으로 연결되어 있어야 한다.
두 정점, u와 v사이의 경로중 거리가 k인 것의 수는 Aku,v와 같다.
즉, 인접행렬 A의 k제곱의 u행 v열 원소와 같다.
경로기반 접근법의 손실함수는 다음과 같다.

중첩 기반 접근법

두 정점이 많은 이웃을 공유할 수록 유사하다고 간주.
아래 그램에서 빨간색 정점은 파란색 정점과 두 명의 이웃을 공유하기 때문에 유사도는 2가 된다.
정점 u의 이웃집합을 N(u), 그리고 정점 v의 이웃 집합을 N(v)라고 하면, 두 정점 공통이웃 수는 다음과 같이 정의된다.
손실함수는 다음과 같다.
공통 이웃 수 대신 자카드 유사도 혹은 Adamic Adar 점수를 사용할 수도 있다.
자카드 유사도(Jaccard Similarity)는 공통 이웃의 수 대신 비율을 계산하는 방식
Adamic Adar 점수는 공통 이웃 각각에 가중치를 부여하는 가중합을 계산하는 방식

임의보행 기반 접근법

한 정점에서 싲가하여 임의보행을 할 때 다른 정점에 도달할 확률을 유사도로 간주.
임의 보행이란 현재 정점의 이웃 중 하나를 균일한 확률로 선택하는 이동과정을 반복하는 것을 의미
임의보행을 사용할 경우 시작 정점 주변의 지역적 정보와 그래프 전역정보를 모두 고려한다는 장점이 있다.
다음 세 단계를 거친다.
- 각 정점에서 시작하여 임의보행을 반복 수행.
- 각 정점에서 시작한 임의보행 중 도달한 정점들의 리스트NR(u)를 구성한다.
  한 정점을 여러 번 도달한 경우, 해당 정점은 NR(u)에 여러번 포함 될 수 있다.
- 다음 손실함수를 최소화하는 임베딩을 학습한다.
Q : 어떻게 임베딩으로부터 도달 확률을 추정할까?
- 즉 유사도 zTvzu가 높을 수록 도달 확률이 높다.

DeepWalk와 Node2Vec

임의보행의 방법에 따라 DeepWalk와 Node2Vec이 구분
DeepWalk는 앞서 설명한 기본적인 임의보행을 사용
즉, 현재 정점의 이웃 중 하나를 균일한 확률로 선택하는 이동하는 과정을 반복
Node2Vec은 2차 치우친 임의보행(Second-order Biased Random Walk)을 사용
현재 정점(예시에서 𝑣)과 직전에 머물렀던 정점(예시에서 𝑢)을 모두 고려하여 다음 정점을 선택, 직전 정점의 거리를 기준으로 경우를 구분하여 차등적인 확률을 부여
Node2Vec에서는 부여하는 확률에 따라서 다른 종류의 임베딩을 얻는다.
아래 그림은 Node2Vec으로 임베딩을 수행한 뒤, K-means 군집 분석을 수행한 결과
멀어지는 방향에 높은 확률을 부여한 경우, 정점의 역할(다리 역할, 변두리 정점 등)이 같은 경우 임베딩이 유사하다.
가까워지는 방향에 높은 확률을 부여한 경우, 같은 군집(Community)에 속한 경우 임베딩이 유사하다.

손실 함수 근사

임의 보행 기법의 손실함수는 계산에 정점의 수의 제곱에 비례하는 시간이 소요된다.
따라서 많은 경우 근사식을 사용한다.
모든 정점에 대해서 정규화하는 대신 몇 개의 정점을 뽑아서 비교하는 형태이다.
이 때 뽑힌 정점들을 네거티브 샘플이라고 부른다.
연결성에 비례하는 확률로 네거티브 샘플을 뽑으며, 네거티브 샘플이 많을 수록 학습이 더욱 안정적이다.

변환식 정점 표현 학습의 한계

변환식 정점 표현 학습과 귀납식 정점 표현 학습

위 정점 임베딩 방법들은 변환식(Transductive)방법이다.
변환식 방법은 학습의 결과로 정점의 임베딩 자체를 얻는다는 특성이 있다.
정점을 임베딩으로 변화시키는 함수, 즉 인코더를 얻는 귀납식(Inductive)방법과 대조된다.

변환식 정점 표현 학습의 한계

변환식 임베딩 방법은 여러 한계를 갖는다.
- 학습이 진행된 이후에 추가된 정점에 대해서는 임베딩을 얻을 수 없습니다
- 모든 정점에 대한 임베딩을 미리 계산하여 저장해두어야 합니다
- 정점이 속성(Attribute) 정보를 가진 경우에 이를 활용할 수 없습니다

그래프를 추천시스템에 어떻게 활용할까? (심화)

넷플릭스 챌린지 소개

넷플릭스 챌린지 데이터셋

사용자별 영화 평점 데이터가 사용.
훈련 데이터(Training Data)는 2000년 부터 2005년 까지 수집한 48만명 사용자의 1만 8천개의 영화에 대한 1억개의 평점으로 구성
평가 데이터(Test Data)는 각 사용자의 최신 평점 280만개로 구성되어 있다.

넷플릭스 챌린지 대회 소개

넷플릭스 챌린지의 목표는 추천시스템의 성능을 10%이상 향상시키는 것
평균 제곱근 오차 0.9514을 0.8563까지 낮출 경우 100만불의 상금을 받는 조건
2006년부터 2009년까지 진행되었으며, 2700개의 팀이 참여
넷플릭스 챌린지를 통해 추천시스템의 성능이 비약적으로 발전

기본 잠재 인수 모형

잠재 인수 모형 개요

위 넷플릭스 챌린지에서 성공한 모델로 현재까지도 많이 사용되고 있다.
핵심은 사용자와 상품을 벡터로 표현하는 것.
고정된 인수 대신 효과적인 인수를 학습하는 것을 목표로 한다.
학습한 인수를 잠재 인수(Latent Factor)라고 한다.

손실 함수

Q : 사용자와 상품을 임베딩 하는 기준은 무엇인가?
- 사용자와 상품의 임베딩의 내적(Inner Product)이 평점과 최대한 유사하도록 하는 것.
- 사용자 x의 임베딩을 px, 상품 i의 임베딩을 qi
- 사용자 x의 상품 i에 대한 평점을 rxi
- 임베딩의 목표는 pxTqi이 rxi와 유사하도록 하는 것이다.
행렬 차원으로 보면 아래와 같다.
(R : 평점 행렬, P : 사용자 행렬, Q : 상품 행렬)
잠재 인수 모형은 다음 손실함수를 최소화하는 P와 Q를 찾는 것을 목표로 한다.
하지만, 위 손실함수를 사용할 경우 과적합(Overfitting)이 발생할 수 있다.
따라서 과적합을 방지하기 위해 정규화 항을 손실함수에 더해준다.
정규화의 세기가 클수록 모형 복잡도에 조금더 집중해서 최소화를 하고, 작을수록 오차에 집중해서 최소화를 한다.

최적화

손실함수를 최적화하는 P와 Q를 찾기 위해서는 (확률적)경사하강법을 사용한다.

고급 잠재 인수 모형

사용자와 상품의 편향을 고려한 잠재 인수 모형

각 사용자의 편향은 해당 사용자의 평점 평균과 전체 평점 평균의 차이다.
예시:
- 나연이 매긴 평점의 평균이 4.0, 다현이 매긴 평점평균이 3.5이고 전체 평점평균이 3.7일때, 나연의 사용자 편향은 4.0-3.7=0.3이고, 다현의 사용자 편향은 3.5-3.7=-0.2이다.
개선된 잠재 인수 모형에서는 평점을 전체평균, 사용자 편향, 상품 편향, 상호작용 으로 분리한다.
손실함수는 아래와 같다.
결과