운동

알고리즘 구분 : 그래프 이론, 플로이드 워셜

문제

V개의 마을와 E개의 도로로 구성되어 있는 도시가 있다. 도로는 마을과 마을 사이에 놓여 있으며, 일방 통행 도로이다. 마을에는 편의상 1번부터 V번까지 번호가 매겨져 있다고 하자.

당신은 도로를 따라 운동을 하기 위한 경로를 찾으려고 한다. 운동을 한 후에는 다시 시작점으로 돌아오는 것이 좋기 때문에, 우리는 사이클을 찾기를 원한다. 단, 당신은 운동을 매우 귀찮아하므로, 사이클을 이루는 도로의 길이의 합이 최소가 되도록 찾으려고 한다.

도로의 정보가 주어졌을 때, 도로의 길이의 합이 가장 작은 사이클을 찾는 프로그램을 작성하시오. 두 마을을 왕복하는 경우도 사이클에 포함됨에 주의한다.

입력
첫째 줄에 V와 E가 빈칸을 사이에 두고 주어진다. (2 ≤ V ≤ 400, 0 ≤ E ≤ V(V-1)) 다음 E개의 줄에는 각각 세 개의 정수 a, b, c가 주어진다. a번 마을에서 b번 마을로 가는 거리가 c인 도로가 있다는 의미이다. (a → b임에 주의) 거리는 10,000 이하의 자연수이다. (a, b) 쌍이 같은 도로가 여러 번 주어지지 않는다.

출력
첫째 줄에 최소 사이클의 도로 길이의 합을 출력한다. 운동 경로를 찾는 것이 불가능한 경우에는 -1을 출력한다.

예제 입력 1
3 4
1 2 1
3 2 1
1 3 5
2 3 2
예제 출력 1
3

문제 풀이

문제를 빠르게 읽다가 사이클이 존재하지 않을 경우로 보고, 크루스칼 알고리즘으로 접근하려고 하였다가, 이상함을 감지하고 문제를 다시 보니 사이클이 존재하는 경우를 기준으로 한다는 것을 파악하고 다른 방식으로 접근하게 된 문제였다.

사이클이 존재하기에 사이클이 없는 상황에서의 MST를 구하는 크루스칼 알고리즘은 사용하기에 어렵고, 그렇다면 내가 사용할만한 알고리즘은 다익스트라나 플로이드 워셜 정도였다. 문제의 주어진 노드의 개수가 최대 400개이기에 플로이드 워셜의 시간 복잡도인 O(N^3)이 되더라도 문제가 없음을 확인하여서, 플로이드 워셜로 구현하기로 정하였다.

플로이드 워셜 알고리즘의 구현은 너무 명확한 방식이기에, 따로 풀이를 적지는 않겠다.

다만 핵심은 플로이드 워셜 방식을 통해 모든 노드에서 모든 노드까지의 최단거리를 구한 이후, 사이클이 존재하면서 최단 거리일 수 있는지를 확인해야 한다. 여기서 사이클이란, 쉽게 말하면 출발 노드와 도착 노드가 동일한 경로를 의미한다. 그렇기에, 사이클 유무를 파악해야 하는데 이를 이중 반복문을 통해 가는 방향과 오는 방향 모두 거리가 구해져 있을 경우(graph[i][j] != MAX && graph[j][i] != MAX)를 확인하여 최솟값을 갱신시키는 방식을 통하여 확인하였다.

마지막으로 놓치면 안되는 점은 사이클이 존재하지 않을 경우는 운동이 불가능한 경우로 -1을 출력해야 하기 때문에 이에 대한 조건문을 삽입해야 한다는 것이다.

소스 코드

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define endl "\n"
#define MAX 987654321

int v, e;
int graph[401][401];
void floydWarshall();

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    cout.tie(NULL);

    fill(&graph[0][0], &graph[400][401], MAX);

    cin >> v >> e;
    for(int i = 0; i < e; i++) {
        int a, b, c;
        cin >> a >> b >> c;
        graph[a][b] = c;
    }

    floydWarshall();


    return 0;
}

void floydWarshall() {
    bool check = false;
    int result = MAX;

    for(int k = 1; k < v + 1; k++) {
        for(int i = 1; i < v + 1; i++) {
            for(int j = 1; j < v + 1; j++) {
                if(graph[i][j] > graph[i][k] + graph[k][j]) {
                    graph[i][j] = graph[i][k] + graph[k][j];
                }   
            }
        }
    }
    
    for(int i = 1; i < v + 1; i++) {
        for(int j = i + 1; j < v + 1; j++) {
            if(graph[i][j] != MAX && graph[j][i] != MAX) {
                result = min(result, graph[i][j] + graph[j][i]);
                check = true;
            }
        }
    }

    if(check) {
        cout << result << endl;
    }
    else {
        cout << -1 << endl;
    }
}

• 문제 출처 : https://www.acmicpc.net/problem/1956
• 해당 풀이는 백준에서 "맞았습니다!!" 판정을 받았습니다.