최단경로 - 다익스트라, 플로이드 워셜

다익스트라

하나의 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단경로를 구하는 문제이다. O(ElogV), 간선들은 모두 양의 값을 가져야 한다. (현실에 적용 가능하다.)

플로이드 워셜

모든 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로를 구하는 문제, O(V^3)

점화식만 기억한다면 큰 어려움 없이 구현 가능하다.
graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j])

---

다익스트라 대표 예제

첫째 줄에 도시의 개수 n, 통로의 개수 m, 메시지를 보내고자 하는 도시가 주어진다.
둘째 줄부터 m+1번째 줄에 통로에 대한 정보 x, y, c가 주어진다. 이는 특정 도시 x에서 다른 도시 y로 이어지는 통로가 있으며, 메시지가 전달되는 시간이 c라는 의미이다.
(x -> y 인 통로는 있지만, y -> x 인 통로는 없다면 y 는 x로 메시지를 보낼 수 없다.)

출력: 메시지를 보내고자 하는 도시에서 보낸 메시지를 받는 도시의 총 개수와 총 걸리는 시간을 공백으로 구분해서 출력한다.

입력 예시

3 2 1
1 2 4
1 3 2

출력 예시

2 4

import heapq
INF = int(1e9)   # 10억, 무한을 의미한다

def dijkstra(start, graph, dist):
    dist[start] = 0
    heap = []
    heapq.heappush(heap, [0, start])  # 시작 노드로 가기 위한 최단경로는 0으로 설정하여 최소힙에 삽입
    
    while heap:
        cost, node = heapq.heappop(heap)  # 가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        if dist[node] < cost:
            continue
        for c, n in graph[node]:  # 현재 노드와 연결된 인접 노드들 확인
            if cost + c < dist[n]:  # 현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
                dist[n] = cost + c
                heapq.heappush(heap, [cost+c, n])
    
n, m ,start = map(int, input().split())  # 노드의 개수, 간선의 개수, 시작노드
road = [list(map(int, input().split())) for _ in range(m)]

graph = [[] for _ in range(n+1)] # 각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담을 리스트
dist = [INF] * (n+1)  # 최단 거리 테이블 모두 무한으로 시작
for r in road:
    x,y,c = r
    graph[x].append([c, y])  # x번 노드 -> y번 노드로 가는 비용 c

dijkstra(start, graph, dist)
city = [d for d in dist if d != INF and d != 0]
print(len(city), max(city), end = " ")

연습문제

• 프로그래머스 - 배달

18352 특정 거리의 도시 찾기

import sys
import heapq
INF = (1e9)

def dijkstra(start, graph, dist):
    dist[start] = 0
    heap = []
    heapq.heappush(heap, [0, start])
    while heap:
        cost, node = heapq.heappop(heap)
        
        if dist[node] < cost:
            continue
        for c, n in graph[node]:
            if cost + c < dist[n]:
                dist[n] = cost + c
                heapq.heappush(heap, [cost + c, n])

n, m, k, start = map(int, sys.stdin.readline().split())  #도시개수, 도로개수, 거리정보, 출발도시
dist = [INF] * (n+1) # 1번 도시는 index 1번 2번 도시는 index 2번 ... 
graph = [[] for _ in range(n+1)]

for _ in range(m):
    a, b = map(int, sys.stdin.readline().split())
    graph[a].append([1, b])
    
dijkstra(start, graph, dist)

cnt = 0
for i in range(1, n+1):
    if dist[i] == k:
        cnt += 1
        print(i)
        
if cnt == 0:
    print(-1)

4485 녹색 옷 입은 애가 젤다지?

import heapq
dx = [-1, 0, 1, 0]
dy = [0, 1, 0, -1]
INF = int(1e9)
cnt = 0

while True:
    n = int(input())
    if n == 0:
        exit()
    cnt += 1
    cave = [[INF]*(n) for _ in range(n)]
    board = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]
    
    heap = []
    heapq.heappush(heap, (board[0][0], (0,0)))
    cave[0][0] = board[0][0]
    
    while heap:
        cost, xy = heapq.heappop(heap)
        x, y = xy
        if cave[x][y] < cost:
            continue
        for dir in range(4):
            nx, ny = x + dx[dir], y + dy[dir]
            if 0 <= nx < n and  0 <=  ny < n:
                if cost + board[nx][ny] < cave[nx][ny]:
                    cave[nx][ny] = cost + board[nx][ny]
                    heapq.heappush(heap, (cost+board[nx][ny], (nx, ny)))
    print('Problem {}: {}'.format(cnt, cave[n-1][n-1]))

화성 탐사 (이코테 p388)

from collections import deque
import heapq
dx = [0, 1, 0, -1]
dy = [-1, 0 ,1, 0]

INF = int(1e9)
T = int(input())
while T:
    T -= 1
    n = int(input())
    board = [list(map(int, input().split())) for _ in range(n)]
    dist = [[INF] * (n) for _ in range(n)]
    heap = []
    
    dist[0][0] = board[0][0]
    heapq.heappush(heap, ([0,0], dist[0][0]))
    
    while heap:
        xy, cost = heapq.heappop(heap)
        curX, curY = xy
        if dist[curX][curY] < cost:
            continue
        for dir in range(4):
            nx, ny = curX + dx[dir], curY + dy[dir]
            if nx < 0 or nx >= n or ny < 0 or ny >= n:
                continue
            if cost + board[nx][ny] < dist[nx][ny]:
                heapq.heappush(heap, ([nx, ny], cost + board[nx][ny]))
                dist[nx][ny] = cost + board[nx][ny]

    print(dist[n-1][n-1])

input:

2
3
5 5 4
3 9 1
3 2 7
5
3 7 2 0 1
2 8 0 9 1
1 2 1 8 1
9 8 9 2 0
3 6 5 1 5

output:

20
19

플로이드 워셜 대표 예제

11410 플로이드

INF = int(1e9)

n = int(input())
m = int(input())

graph = [[INF]*(n+1) for _ in range(n+1)]

# 현재 위치에서 현재 위치로 이동은 0
for i in range(1, n+1):
    graph[i][i] = 0

# a에서 b로 가는 비용은 c 라고 설정
for _ in range(1, m+1):
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = min(graph[a][b], c)

# 플로이드
for k in range(1, n+1):
    for i in range(1, n+1):
        for j in range(1, n+1):
            graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] + graph[k][j])
            
# 이동 불가능인 경우 0으로 수정
for i in range(1,n+1):
    for j in range(1, n+1):
        if graph[i][j] == INF:
            graph[i][j] = 0 

for i in range(1,n+1):
    for j in range(1, n+1):
        print(graph[i][j], end=' ')
    print()