선형대수.5 - 선형변환_2

좌표 coordinate

$B=(\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_n)$가 벡터공간 $V$의 기저일 때, $\boldsymbol{x}\in V$는 유니크한 선형결합 $\boldsymbol{x}=\alpha_1 \boldsymbol{b}_1 + \cdots + \alpha_n \boldsymbol{b}_n$으로 표현할 수 있다.
여기서 $\alpha_1, \cdots, \alpha_n$은 $B$에 대한 $\boldsymbol{x}$의 좌표이고

$\boldsymbol{\alpha}=\begin{bmatrix}\alpha_1\\\vdots\\\alpha_n\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^n$

$\boldsymbol{\alpha}$를 $B$에 대한 $\boldsymbol{x}$의 좌표 벡터(coordinate vector) 또는 좌표 표현(coordinater representation)이라고 한다.

좌표계에서 $\boldsymbol{x}$의 좌표는 기저 벡터들을 어떻게 선형결합해야 $\boldsymbol{x}$를 표현할 수 있는지를 알려준다. 그러므로 동일한 벡터에 대해서 기저가 다르면 좌표도 다르다.

🤔: 벡터를 어떤 막대의 길이로 생각하고 기저를 길이를 표현할 단위로 생각하면 좋을 듯. 막대의 길이는 고정이고 m, ft, inch 등 어떤 단위를 사용하냐에 따라서 표현이 달라진다.

변환 행렬 transformation matrix

먼저 $n$차원 벡터공간 $V$와 $V$의 기저 $B=(\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_n)$에 대해서 $\Phi:\mathbb{R}^n\rightarrow V$, $\Phi(\boldsymbol{e}_i)=\boldsymbol{b}_i$는 선형 변환이다.
🤔: ?

벡터공간 $V, W$의 기저가 각각 $B=(\boldsymbol{b}_1, \cdots, \boldsymbol{b}_n), C=(\boldsymbol{c}_1, \cdots, \boldsymbol{c}_m)$이고 선형 변환 $\Phi:V\rightarrow W$이 있을 때,
$\Phi(\boldsymbol{b}_j)=\alpha_{1j}\boldsymbol{c}_1+\cdots+\alpha_{mj}\boldsymbol{c}_m=\sum_{i=1}^m \alpha_{ij}\boldsymbol{c}_i$ 는 $C$에 대해서 유니크한 선형 결합으로 표현된다.

여기서 $A_{\Phi}(i, j) = \alpha_{ij}$인 (m, n) 행렬 $A_{\Phi}$를 $\Phi$의 변환 행렬이라고 한다.
$C$에 대한 $\Phi({\boldsymbol{b}_i})$의 좌표는 $A_\Phi$의 $i$ 번째 열이다.

$\hat{\boldsymbol{x}}$이 $B$에 대한 $\boldsymbol{x}\in V$의 좌표이고 $\hat{\boldsymbol{y}}$이 $C$에 대한 $\boldsymbol{y}=\Phi(\boldsymbol{x})\in W$의 좌표일 때,

$\hat{\boldsymbol{y}}=A_\Phi\hat{\boldsymbol{x}}$

변환 행렬은 한 벡터공간의 좌표를 다른 벡터공간의 좌표로 맵핑할 수 있다. (두 벡터공간의 기저에 의존적이다.)

🤔: $\hat{\boldsymbol{x}}=\begin{bmatrix}\hat{x_1}&\cdots&\hat{x_n}\end{bmatrix}^\top$이라면 $\boldsymbol{x}=\hat{x_1}\boldsymbol{b}_1+\cdots+\hat{x_n}\boldsymbol{b}_n$이고
$\begin{matrix} \Phi(\boldsymbol{x})&=&\hat{x}_1(\alpha_{11}\boldsymbol{c}_1+\cdots+\alpha_{m1}\boldsymbol{c}_m) + \cdots + \hat{x}_n(\alpha_{1n}\boldsymbol{c}_1+\cdots+\alpha_{mn}\boldsymbol{c}_m)\\ &=&(\alpha_{11}\hat{x}_1+\cdots+\alpha_{1n}\hat{x}_n)\boldsymbol{c}_1 + \cdots + (\alpha_{m1}\hat{x}_1+\cdots+\alpha_{mn}\hat{x}_n)\boldsymbol{c}_m\\ \end{matrix}$
$\hat{\boldsymbol{y}}=\begin{bmatrix}\alpha_{11}\hat{x}_1+\cdots+\alpha_{1n}\hat{x}_n\\ \vdots\\\alpha_{m1}\hat{x}_1+\cdots+\alpha_{mn}\hat{x}_n \end{bmatrix}=A_{\Phi}\hat{\boldsymbol{x}}$
$A_\Phi$는 $\Phi(\boldsymbol{x})$를 선형 결합으로 표현할 때 $W$의 기저벡터들이 얼마나 필요한지 보여준다.

🤔: 벡터 회전시키기
같은 공간에서 기저를 회전시키면 될 듯

$\Phi(\boldsymbol{e}_1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_2$
$\Phi(\boldsymbol{e}_2)=-\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{e}_2$
$A_{\Phi}=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos(\frac{\pi}{4})&-sin(\frac{\pi}{4})\\sin(\frac{\pi}{4})&cos(\frac{\pi}{4})\\\end{bmatrix}$

🤔: 동일한 벡터를 다른 기저로 표현

데카르트 좌표계에서 $\boldsymbol{x}=(\sqrt{2}, \sqrt{2}), \boldsymbol{b}_1=(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), \boldsymbol{b}_2=(\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$
$\Phi(\boldsymbol{e}_1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{b}_1+\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{b}_2$
$\Phi(\boldsymbol{e}_2)=\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{b}_1-\frac{\sqrt{2}}{2}\boldsymbol{b}_2$
$A_\Phi=\begin{bmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\\frac{\sqrt{2}}{2}&-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{bmatrix}$
$B=(\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2)$에 대한 $\boldsymbol{x}$의 좌표는 $A_\Phi\boldsymbol{x}=(2, 0)$