DynamicProgramming_1_05_Four Squares(17626)

문제

라그랑주는 1770년에 모든 자연수는 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현할 수 있다고 증명하였다. 어떤 자연수는 복수의 방법으로 표현된다. 예를 들면, 26은 52과 12의 합이다; 또한 42 + 32 + 12으로 표현할 수도 있다. 역사적으로 암산의 명수들에게 공통적으로 주어지는 문제가 바로 자연수를 넷 혹은 그 이하의 제곱수 합으로 나타내라는 것이었다. 1900년대 초반에 한 암산가가 15663 = 1252 + 62 + 12 + 12라는 해를 구하는데 8초가 걸렸다는 보고가 있다. 좀 더 어려운 문제에 대해서는 56초가 걸렸다: 11339 = 1052 + 152 + 82 + 52.

자연수 n이 주어질 때, n을 최소 개수의 제곱수 합으로 표현하는 컴퓨터 프로그램을 작성하시오.

입력

입력은 표준입력을 사용한다. 입력은 자연수 n을 포함하는 한 줄로 구성된다. 여기서, 1 ≤ n ≤ 50,000이다.

출력

출력은 표준출력을 사용한다. 합이 n과 같게 되는 제곱수들의 최소 개수를 한 줄에 출력한다.

풀이

• 넷 혹은 그 이하의 제곱수의 합으로 표현해야 하기 때문에 4개의 숫자를 사용했을 때까지 업데이트를 하면 답이 나온다.
• 예를 들어 9에서 발생하는 최소 개수를 만들기 위해서는

(8에서 발생하는 최소 개수 + 1에서 발생하는 최소 개수)
(5에서 발생하는 최소 개수 + 4에서 발생하는 최소 개수)
(3에서 발생하는 최소 개수 + 0에서 발생하는 최소 개수)
를 비교하면 된다. 따라서 n보다 작거나 같은 제곱수를 찾은 후 (n-제곱수)를 인덱스로 가진 값에 1을 더해준다.

-> dp[i - (j**2)] + 1

코드

N = int(input())
dp = [0,1]

for i in range(2, N+1):
    min_value = 1e9
    j = 1

    while (j**2) <= i:
        min_value = min(min_value, dp[i - (j**2)])
        j += 1

    dp.append(min_value + 1)
print(dp[N])

배운 것

규칙은 다음과 같다.

• n보다 작거나 같은 제곱수를 찾고 n-제곱수를 인덱스로 가진 값에 1을 더해주면 된다.

  d[i - (j**2)] + 1

코멘트

pypy 로는 맞을 때가 있다.