(Algorithm) Part 2. Dynamic Programming

Mirrer·2023년 1월 4일

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Problem 1, 개미 전사

개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 일직선으로 이어져 있는 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다.

각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탁하여 식량을 빼앗을 예정이다.

개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다.

개미 전사는 2번째, 4번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다.

개미 전사를 위해 식량 창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 잇는 식량의 최댓값을 구하는 프로그램을 작성하시오.

Explanation

위 문제의 예시를 확인해보면, $N = 4$ 일 때 아래와 같은 8가지 경우의 수가 존재할 수 있다.

여기서 7번째 경우에서 8만큼의 식량을 얻을 수 있으므로 최적의 해는 8이다.

즉, 왼쪽부터 차례대로 식량창고를 공격한다고 했을 때 특정한 $i$ 번째 식량창고에 대한 공격여부를 결정하면, 아래 2가지 경우 중 더 많은 식량을 얻을 수 있는 경우를 선택하면 된다.

위 과정을 코드로 구현하면 다음과 같다.

const N = 4;
const arr = [1, 3, 1, 5];

// 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
const dp = new Array(100).fill(0);

// BottomUp Dynamic Programming) 진행
dp[0] = arr[0];
dp[1] = Math.max(arr[0], arr[1]);

for (let i = 2; i < N; i++) {
  dp[i] = Math.max(dp[i - 1], dp[i - 2] + arr[i]);
}

console.log(dp[N - 1]);

// 실행 결과
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Problem 2, 1로 만들기

정수 $X$ 가 주어졌을 때, 아래 연산 4개를 적절히 사용해서 값을 1로 만들고자 합니다.

사용할 수 있는 연산 종류는 다음과 같다.

1. $X$ 가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다.
2. $X$ 가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다.
3. $X$ 가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다.
4. $X$ 에서 1을 뺀다.

이 때 연산을 사용하는 횟수의 최소값을 출력하시오.

예를 들어 정수 $X = 26$ 이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최소값이다.

$26 → 25 → 5 → 1$

Explanation

함수가 호출되는 과정을 도식화하면 다음과 같다.

이를 통해 해당 문제가 다이나믹 프로그래밍의 최적 부분 구조와 중복되는 부분 문제를 만족하는 것을 확인할 수 있다.

위 과정을 코드로 구현하면 다음과 같다.

const N = 26;
// 앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
const dp = new Array(30001).fill(0);

// BottomUp Dynamic Programming 진행
for (let i = 2; i < N + 1; i++) {
  dp[i] = dp[i - 1] + 1; // 현재의 수에서 1을 빼는 경우
  
  // 현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
  if (i % 2 === 0) dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i / 2] + 1);
  // 현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
  if (i % 3 === 0) dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i / 3] + 1); 
  // 현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
  if (i % 5 === 0) dp[i] = Math.min(dp[i], dp[i / 5] + 1); 
}

console.log(dp[N]);

// 실행 결과
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Problem 3, 효율적인 화폐 구성

$N$ 가지 종류의 화폐 중 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 $M$ 원이 되도록 하려고 한다.

이때 각 종류의 화폐는 몇 개라도 사용할 수 있다.

예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.

$M$ 원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

Explanation

해당 문제를 통해 점화식을 도출하면 다음과 같다.

위 과정을 코드로 구현하면 다음과 같다.

const [N, M] = [2, 15];
const coins = [2, 3];

// 한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
const dp = Array.from({ length: M + 1 }, () => Number.MAX_VALUE);
dp[0] = 0;

// BottomUp Dynamic Programming 진행
for (let i = 0; i < N; i++) {
  for (let j = coins[i]; j <= M; j++) {
    // (i-k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
    dp[j] = Math.min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1); 
  }
}

console.log(dp[M]);

// 실행 결과
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Problem 4, 금광

N x M 크기의 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며, 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어 있다.

채굴자는 첫 번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작하고, 맨 처음에는 첫 번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있다.

이후에 $M - 1$ 번에 걸쳐서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 한다.

결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

Explanation

해당 문제는 금광의 모든 위치에 대하여 다음 3가지만 고려하면 된다.

1. 왼쪽 위에서 오는 경우
2. 왼쪽 아래에서 오는 경우
3. 왼쪽에서 오는 경우

위 3가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신하면 문제를 해결할 수 있다.

이를 통해 점화식을 구한 뒤, 다이나믹 프로그래밍으로 해결하는 과정은 다음과 같다.

최종적으로 이를 코드로 구현하면 다음과 같다.

const T = 2;
const input = [
  [3, 4],
  [1, 3, 3, 2, 2, 1, 4, 1, 0, 6, 4, 7],
  [4, 4],
  [1, 3, 1, 5, 2, 2, 4, 1, 5, 0, 2, 3, 0, 6, 1, 2]
];

for (let t = 0; t < T; t++) {
  const N = input[0][0];
  const M = input.shift()[1];

  const dp = [];
  let index = 0;
  for (let d = 0; d < N; d++) {
    dp.push(input[0].slice(index, index + M));
    index += M;
  }
  input.shift();

  for (let j = 1; j < M; j++) {
    for (let i = 0; i < N; i++) {
      let leftUp = 0, leftDown = 0;
      if (i !== 0) { // 왼쪽 위에서 오는 경우
        leftUp = dp[i-1][j-1];
      }
      if (i !== N - 1) { // 왼쪽 아래에서 오는 경우
        leftDown = dp[i+1][j-1];
      }
      const left = dp[i][j-1]; // 왼쪽에서 오는 경우
      dp[i][j] = dp[i][j] + Math.max(leftUp, leftDown, left);
    }
  }

  let result = 0;
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    result = Math.max(result, dp[i][M - 1]);
  }

  console.log(result);
}

// 실행 결과
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Problem 5, 병사 배치하기

$N$ 명의 병사는 무작위로 나열되어 있으며, 각 병사는 특정 값의 전투력을 보유하고 있다.

이 때 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 배치되도록 내림차순으로 정렬하고자 한다.

즉, 앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 한다.

위와 같이 병사에 대한 정보가 주어졌을 때, 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하기 위해서 열외시켜야 하는 병사의 수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.

Explanation

해당 문제의 기본 아이디어는 가장 긴 증가하는 부분 수열(Longest Increasing Subsequence, LIS)로 알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 동일하다.

가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 확인해보면 $D[i] = array[i]$ 은 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대길이이다.

즉, 점화식은 다음과 같다.

가장 먼저 입력 받은 병사 정보의 순서를 반대로 정렬한다.

가장 긴 증가하는 부분 수열 (LIS) 알고리즘을 수행하여 정답을 도출한다.

위 과정을 코드로 구현하면 다음과 같다.

const N = 7;
const power = [15, 11, 4, 8, 5, 2, 4];

// 순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
power.reverse(); 
// 다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
const dp = new Array(N).fill(1);

// 가장 긴 증가하는 부분 수열(LTS) 알고리즘 수행
for (let i = 0; i < N; i++) {
  for (let j = 0; j < i; j++) {
    if (power[j] < power[i]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1);
  }
}

let maxValue = 0;
for (let i = 0; i < N; i++) {
  maxValue = Math.max(maxValue, dp[i]);
}

// 열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
console.log(N - maxValue);